Question

如圖，A是以BC為直徑的⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作圓O的切線，與CA的延長線相交于點(diǎn)D，E是BD的中點(diǎn)，延長AE與CB的延長線相交于點(diǎn)F．
（1）求證：AF是⊙O的切線；
（2）若BE=3，BF=4，求CD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和等邊對等角得到∠EAB=∠EBA，結(jié)合⊙O的切線得出OA⊥AF，從而得出AF是⊙O的切線；
（2）先根據(jù)勾股定理求得EF的長，再根據(jù)切線的性質(zhì)得出EB=EA=3，即可求得AF的長，然后根據(jù)切割線定理求得FC，進(jìn)而得出BC的長，根據(jù)E是BD的中點(diǎn)，得出BD的長，最后根據(jù)勾股定理即可求得CD的長．

解答：解：（1）連接AB，OA，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∵DB是⊙O的切線，
∴DB⊥BC，
∴∠DBO=90°，
在RT△ABD中，E是斜邊BD的中線，
∴AE=DE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠EAB+∠OAB=∠EBA+∠OBA
∴∠EAO=∠DBO=90°，
∴OA⊥AF，
∴AF是⊙O的切線；
（2）∵在RT△BEF中，BE=3，BF=4，
∴EF=

BE2+BF2

=

32+42

=5，
∵FA、DB是⊙O的切線，
∴EA=EB=3，
∴AF=EF+EA=5+3=8，
∵AF²=FB•FC，
∴FC=

AF2

FB

=

82

4

=16，
∴BC=FC-FB=16-4=12，
∵E是BD的中點(diǎn)，
∴BD=2BE=6，
在RT△DBC中，CD=

DB2+BC2

=

62+122

=6

5

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，屬于中檔題．