Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)O為是AC的中點(diǎn)，OB=12，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B以每秒

3

個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，作等邊△PMN，點(diǎn)M，N在直線OB上，取OB的中點(diǎn)D，以O(shè)D為邊在△AOB內(nèi)部作如圖所示的矩形ODEF，點(diǎn)E在線段AB上．
（1）求當(dāng)?shù)冗叀鱌MN的頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)O重合時(shí)t的值；
（2）求等邊△PMN的邊長(zhǎng)（用t的代數(shù)式表示）；
（3）設(shè)等邊△PMN和矩形ODE F重疊部分的面積為S，請(qǐng)求你直接寫(xiě)出當(dāng)0≤t≤2秒時(shí)S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（4）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)M，使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出：AB=BC=CD，∠ABC=BAC=60°，再根據(jù)勾股定理的性質(zhì)求出當(dāng)M到O點(diǎn)時(shí)AP的值就可以求出t值．
（2）由AP=

3

t，根據(jù)勾股定理可以求出PG=3t，AG=2

3

t，MG的值，從而可以求出結(jié)論；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，如圖1和當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如圖2．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和運(yùn)用勾股定理就可以求出S與t的關(guān)系式；
（4）先求出MN=BN=PN=8-t，MB=16-2t，再分類討論，當(dāng)FM=EM時(shí)，如圖4，M為OD中點(diǎn)，當(dāng)FM=FE=6時(shí)，如圖5，當(dāng)EF=EM=6時(shí)，點(diǎn)M可在OD或DB上，如圖6，如圖7，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可以求出t的值．

解答：解：（1）如圖3，∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=CA，∠ABC=BAC=60°．
∵O為AC中點(diǎn)，
∴∠AOP=30°，∠APO=90°，AO=

1

2

AC=

1

2

AB，
∵OB=12，在Rt△AOB中，由勾股定理，得
OA=4

3

，AB=8

3

，
在Rt△AOP中，∵∠AOP=30°，
∴AP=2

3

，
∴t=2

3

÷

3

=2
∴當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)O重合；
（2）如圖1，∵AP=

3

t，
∴PG=3t，AG=2

3

t，
∴GO=4

3

-2

3

t，
∴MO=4-2t，
∴MG=8-4t，
∴PM=8-t
∴等邊△PMN的邊長(zhǎng)為 PM=8-t；
（3）（Ⅰ）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，即PM與線段AF相交，如圖1．
作KH⊥PE，
∴∠PHK=90°．
∵△PMN是等邊三角形，
∴∠MPN=∠PMN=60°，
∴∠KPE=∠KEP=30°．
∴KE=2KH．
∵AP=

3

t，
∴PE=4

3

-

3

t，
∴HE=2

3

-

3

2

t，
在Rt△KHE中，由勾股定理，得
KH=2-

1

2

t，KE=4-t，
∴KF=2+t．
∵AP=

3

t，
∴PG=3t，AG=2

3

t，
∴GO=4

3

-2

3

t，
∴MO=4-2t，
∴ON=4+t，
∴S_重疊=

(t+2+4+t)2 3

2

，
=2

3

t+6

3

；                    
（Ⅱ）當(dāng)1＜t≤2時(shí)，如圖2．
由（Ⅰ）得：GO=4

3

-2

3

t，KF=t+2，
∴FG=2

3

t-2

3

，
∴FH=2t-2，
∴S_重疊=

(t+2+4+t)2 3

2

-

(2 3 t-2 3 )(2t-2)

2

=-2

3

t²+6

3

t+4

3

．         
（4）∵M(jìn)N=BN=PN=8-t，∴MB=16-2t．
①當(dāng)FM=EM時(shí)，如圖4，M為OD中點(diǎn)，
∴OM=3，
由OM+MB=OB得：
3+16-2t=12，
∴t=3.5，

②當(dāng)FM=FE=6時(shí)，如圖5，
∴OM=

62-(2 3 )2

=2

6

，
由OM+MB=12得：
2

6

+16-2 t=12，
∴t=

6

+2．

③當(dāng)EF=EM=6時(shí)，點(diǎn)M可在OD或DB上，如圖6，如圖7，
DM=

62-(2 3 )2

=2

6

，
∴DB+DM=MB，或者 DB-DM=MB
∴6+2

6

=16-2 t 或者6-2

6

=16-2 t
∴t=5-

6

，或者t=5+

6

．
綜上所述，當(dāng)t=3.5，

6

+2，5-

6

，5+

6

時(shí)，△MEF是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道關(guān)于等邊三角形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用，分段函數(shù)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．解答本題時(shí)靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．