Question

19．已知，如圖，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC邊上的中點，E、F分別是AB、AC上的點，且∠EDF=90°，求證：BE=AF．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上中線，等腰三角形性質(zhì)求出AD⊥BC，∠B=∠C=45°，∠BAD=∠FAD=45°，AD=BD=DC，求出∠ADB=90°，∠EDB=∠FDA，根據(jù)ASA證出△ADF≌△BDE即可．

解答 證明：∵△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC邊上的中點，
∴AD⊥BC，∠B=∠C=45°，∠BAD=∠FAD=45°，AD=BD=DC，
∴∠ADB=90°，
∴∠EDB=∠FDA=90°-∠ADE，
在△ADF和△BDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠BDE}\\{AD=BD}\\{∠FAD=∠B=45°}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△BDE（ASA），
∴BE=AF．

點評 本題考查了等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上中線，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，能求出△ADF≌△BDE是解此題的關(guān)鍵．