Question

如圖，AB是⊙O的直徑，D是弦BC延長線上一點，DE⊥AB于點E，交AC于點H，F(xiàn)在ED上，且FC=FD．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若FD=1，∠D=30°，AC=CD，求AH的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC．欲證CF是⊙O的切線，只需證明OC⊥CF即可；
（2）根據(jù)圓周角定理證得AC⊥BD．在等腰△FCD中求得CD=

3

；然后在直角△HCD中利用特殊角的三角函數(shù)的定義求得HC=1；最后由線段間的和差關(guān)系即可求得AH的長度．

解答：（1）證明：連接OC．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB（等邊對等角）；
又∵DE⊥AB，
∴∠EBD+∠EDB=90°（直角三角形的兩個銳角互余）；
∵FC=FD（已知），
∴∠FCD=∠FDC（等邊對等角），
∴∠OCB+∠FCD=90°，
∠AOC+∠ACF=90°，即OC⊥CF；，
又∵點C在⊙O上，
CF是⊙O的切線；

（2）解：∵FC=FD=1，∠D=30°，
∴CD=

3

；
又∵AC=CD，
∴AC=

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（等量代換）；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∵點D在BC的延長線上，
∴∠ACD=90°；
在直角△HCD中，CD=

3

，∠D=30°，
∴HC=CD•tan∠D=1，
∴AH=AC-HC=

3

-1．

點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．