Question

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，BD平分∠ABC．
（1）求證：AE⊥BD；    （2）若AD=4，BC=14，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）先由已知AD∥CB，得∠ADB=∠CBD，再由，BD平分∠ABC得∠ABD=∠CBD，由此推出∠ADB=∠ADB，即△ABD為等腰三角形，已知E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，所以推出AE⊥BD．
（2）延長(zhǎng)AE交BC于G，能推出△ABE≌△GBE，所以得AE=GE，BG=AB，由（1）得AB=AD，則BG=AD，?CG=BC-BG=BC-AD，再由證明和已知得EF=

1

2

CG，從而求出EF的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠CBD，
又BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，
已知E是BD的中點(diǎn)，
∴AE⊥BD．

（2）解：延長(zhǎng)AE交BC于G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠GBE，
又∵AE⊥BD（已證），
∴∠AEB=∠GEB，
BE=BE，
∴△ABE≌△GBE，
∴AE=GE，BG=AB=AD，
又∵F是AC的中點(diǎn)（已知），
所以由三角形中位線定理得：
EF=

1

2

CG=

1

2

（BC-BG）=

1

2

（BC-AD）
=

1

2

×（14-4）=5．
答：EF的長(zhǎng)為5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角形中位線定理的應(yīng)用和等腰三角形的判定和性質(zhì)，其關(guān)鍵是（1）證△ABD是等腰三角形．（2）延長(zhǎng)AE交BC于G，推出E是AG的中點(diǎn)和BG=AD．