Question

【題目】定義：若一個(gè)三角形一條邊上的高長(zhǎng)為這條邊長(zhǎng)的一半，則稱該三角形為這條邊上的“半高”三角形，這條高稱為這條邊上的“半高”，如圖，△ABC是BC邊上的“半高”三角形．點(diǎn)P在邊AB上，PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q，PM⊥BC于點(diǎn)M，QN⊥BC于點(diǎn)N，連接MQ．

（1）請(qǐng)證明△APQ為PQ邊上的“半高”三角形．

（2）請(qǐng)?zhí)骄?/span>BM，PM，CN之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）若△ABC的面積等于16，求MQ的最小值

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）2PM＝BM+CN，理由見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)平行相似，證明△APQ∽△ABC，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比：，由“半高”三角形的定義可結(jié)論；

（2）證明四邊形PMNQ是矩形，得PQ＝MN，PM＝KR，代入AR＝BC，可得結(jié)論；

（3）先根據(jù)△ABC的面積等于16，計(jì)算BC和AR的長(zhǎng)，設(shè)MN＝x，則BM+CN＝8﹣x，PM＝QN＝（8﹣x），根據(jù)勾股定理表示MQ，配方可得最小值．

（1）證明：如圖，過(guò)A作AR⊥BC于R，交PQ于K，

∵△ABC是BC邊上的“半高”三角形，

∴AR＝BC，

∵PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC，

∴，

∴，

∴AK＝PQ，

∴△APQ為PQ邊上的“半高”三角形．

（2）解：2PM＝BM+CN，理由是：

∵PM⊥BC，QN⊥BC，

∴∠PMN＝∠MNQ＝∠MPQ＝90°，

∴四邊形PMNQ是矩形，

∴PQ＝MN，PM＝KR，

∵AK＝PQ，AR＝BC，

∴AK+RK＝（BM+MN+CN），

PQ+PM＝BM+MN+CN，

∴2PM＝BM+CN；

（3）解：∵△ABC的面積等于16，

∴＝16，

∵AR＝BC，

＝16，

BC＝8，AR＝4，

設(shè)MN＝x，則BM+CN＝8﹣x，PM＝QN＝（8﹣x），

∵MQ＝，

∴當(dāng)x＝時(shí)，MQ有最小值是．