Question

已知：如圖，在△ABC中，AC=15，BC=18，sinC=

4

5

，D為邊AC上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），過D作DE∥BC，交邊AB于點(diǎn)E，過D作DF⊥BC，垂足為F，聯(lián)結(jié)BD，設(shè)CD=x．
（1）如果梯形EBFD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出這個(gè)函數(shù)的定義域；
（2）如果△BDF的面積為S₁，△BDE的面積為S₂，那么當(dāng)x為何值時(shí)，S₁=2S₂；
（3）如果以D為圓心，DC為半徑的⊙D與以E為圓心，AE為半徑的⊙E相切，求線段DC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）表示面積需要知道梯形的上下底和高，本題已給出了部分邊長(zhǎng)和sinC=

4

5

，不難推出DF、BF、ED的長(zhǎng)，進(jìn)而S易表示．
（2）已知面積關(guān)系，若能得到S₁、S₂各自關(guān)于x的表達(dá)式，則可得到方程，求出x即可．在求△BDE的面積時(shí)，如果做BD上的高，求解起來不是很容易，類似問題我們應(yīng)該首先將三邊的高都在圖中作出，觀察選擇哪個(gè)高易求，如圖1，ED邊的高就等于DF，所以可選擇作ED邊上的高．
（3）兩圓相切，即外切或內(nèi)切．外切：圓心距=兩圓半徑的和；內(nèi)切：圓心距=兩圓半徑的差（此時(shí)我們常用絕對(duì)值來表示）．同理前兩問，只需將AE，ED，DC三邊表示出來，再套用這兩種情況即可．

解答：解：（1）在Rt△CDF中，
∵sinC=

4

5

，CD=x，
∴DF=CD•sinC=

4

5

x，CF=

CD2-DF2

=

3

5

x．
∴BF=18-

3

5

x．
∵DE∥BC，
∴

ED

BC

=

AD

AC

．
∴ED=

BC•AD

AC

=

18•(15-x)

15

=18-

6

5

x．
∴S=

1

2

•DF•(ED+BF)=

1

2

•

4

5

x•(18-

6

5

x+18-

3

5

x)=-

18

25

x2+

72

5

x，0＜x＜15．

（2）如圖1，過點(diǎn)B作BG⊥DE的延長(zhǎng)線與D，則BG為△DBE的高，

∵DE∥BC，
∴BG=FE，
∴△DBF與△DBE等高，
∴S₁：S₂=BF：ED，
∵S₁=2S₂，
∴BF=2ED，
∴18-

3

5

x=2•(18-

6

5

x)，
解得，x=10，即當(dāng)x=10時(shí)，S₁=2S₂．

（3）如圖2，過A作AH⊥BC，垂足為H．

在Rt△AHC中，
∵AC=15，sinC=

4

5

，
∴CH=9．
∵BC=18，
∴BH=BC-CH=18-9=9=CH，
∴AB=AC=15．
∵DE∥BC，
∴

AE

AB

=

AD

AC

，
∴AE=AD=15-x．
由題意，R_⊙D=DC=x，R_⊙E=AE=15-x，DE=

6

5

(15-x)．
①當(dāng)⊙D與⊙E外切時(shí)，
∵DE=R_⊙D+R_⊙E，
∴

6

5

(15-x)=x+15-x
解得，x=

5

2

．
②當(dāng)⊙D與⊙E內(nèi)切時(shí)，
∵DE=|R_⊙D-R_⊙E|，
∴

6

5

(15-x)=|x-15+x|
解得，x1=

165

16

，x2=-

15

4

（負(fù)值舍去）．
綜上所述，兩圓相切時(shí)，線段DC的長(zhǎng)為

5

2

或

165

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)、平行線分線段關(guān)系及兩圓的位置關(guān)系內(nèi)容．注意相切不僅僅表示外切，內(nèi)切也要考慮其中，并且式子中可以巧妙的利用絕對(duì)值符號(hào)來表示兩半徑的差．總體來說，本題思路清晰，考查常規(guī)是一道質(zhì)量非常高的題目，請(qǐng)加強(qiáng)理解與掌握．