Question

如圖，在等腰△ABC中，頂角的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，作△ABC的高AE交CB的延長線于點(diǎn)E，且AE與BC的長是方程組

5x+5y=10m-1 10x-5y=5m-2

的解．已知S_△ABC=

12

5

m（m≠0），求△ABC的周長．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì),解二元一次方程組

專題：

分析：先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AC=2AD=6，再解方程組

5x+5y=10m-1 10x-5y=5m-2

，求得

x=m- 1 5 y=m

，那么S_△ABC=

1

2

BC•AE=

1

2

（m-

1

5

）•m，而S_△ABC=

12

5

m，得出方程

1

2

（m-

1

5

）•m=

12

5

m，由m≠0，得出m=5，然后分BC=m-

1

5

=

24

5

或BC=m=5，兩種情況進(jìn)行討論即可．

解答：解：∵在等腰△ABC中，頂角的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD=3，
∴AC=2AD=6．
解方程組

5x+5y=10m-1 10x-5y=5m-2

得

x=m- 1 5 y=m

．
∵S_△ABC=

1

2

BC•AE=

1

2

（m-

1

5

）•m，
∴

1

2

（m-

1

5

）•m=

12

5

m，
∵m≠0，
∴m=5，
如果BC=m-

1

5

=

24

5

，
∵

24

5

，

24

5

，6能夠組成三角形，
∴△ABC的周長=

24

5

+

24

5

+6=

78

5

；
如果BC=m=5，
∵5，5，6能夠組成三角形，
∴△ABC的周長=5+5+6=16．
故△ABC的周長為

78

5

或16．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，二元一次方程組的解法，三角形的面積，正確求出m的值進(jìn)而分類討論是解題的關(guān)鍵．