Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長是4，點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，動點P從點A開始，以每秒2個單位長度的速度在線段AB上來回運動．動點Q從點B開始沿B→C→O的方向，以每秒1個單位長度的速度向點O運動．P，Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達(dá)點O時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒．
（I）當(dāng)t=1時，求PQ所在直線的解析式．
（2）當(dāng)點Q在BC上運動時，若以P，B，Q為頂點的三角形與△OAP相似，求t的值．
（3）在P，Q兩點運動的過程中，若△OPQ的面積為6，請直接寫出所有符合條件的P點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）求出t=1時，AP、CQ的長度，然后寫出點P、Q的坐標(biāo)，設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（2）分0＜t＜2和2＜t＜4兩種情況表示出AP、PB、BQ，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，然后求解即可；
（3）分0＜t≤2，2＜t＜4時，表示出PB，然后根據(jù)S_△OPQ=S_梯形OPBC-S_△PBQ-S_△OCQ，列出方程求解即可；4≤t＜8時，表示出OQ，點P到OC的距離等于OA的長，再根據(jù)三角形的面積列式計算即可得解．

解答：解：（1）t=1時，AP=2×1=2，BQ=1，
∵正方形OABC的邊長為4，
∴CQ=BC-BQ=4-1=3，
∴點P（2，4），Q（4，3），
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

2k+b=4 4k+b=3

，
解得

k=- 1 2 b=5

，
所以，直線PQ的解析式為y=-

1

2

x+5；

（2）∵點P的速度是每秒2個單位長度，點Q的速度是每秒1個單位長度，
∴點P從A到B的時間是4÷2=2秒，
點Q從B到C的時間是4÷1=4秒，
①0＜t＜2時，AP=2t，PB=4-2t，BQ=t，
∵以P，B，Q為頂點的三角形與△OAP相似，
∴

AP

OA

=

PB

BQ

，
即

2t

4

=

4-2t

t

，
整理得，t²+4t-8=0，
解得t₁=2

3

-2，t₂=-2

3

-2（舍去），
或

AP

OA

=

BQ

PB

，
即

2t

4

=

t

4-2t

，
整理得，4-2t=2，
解得t=1，
②2＜t＜4時，AP=8-2t，PB=2t-4，BQ=t，
∵以P，B，Q為頂點的三角形與△OAP相似，
∴

AP

OA

=

PB

BQ

，
即

8-2t

4

=

2t-4

t

，
整理得，t²=8，
解得t₁=2

2

，t₂=-2

2

（舍去），
或

AP

OA

=

BQ

PB

，
即

8-2t

4

=

t

2t-4

，
整理得，t²-5t+8=0，
△=（-5）²-4×1×8=-7＜0，
方程無解，
綜上所述，t的值為1或2

3

-2或2

2

；

（3）①0＜t≤2時，點P從A到B，點Q在BC上，
PB=4-2t，S_△OPQ=S_梯形OPBC-S_△PBQ-S_△OCQ，
=

1

2

（4-2t+4）×4-

1

2

×（4-2t）t-

1

2

×4（4-t），
=t²-4t+8，
∵△OPQ的面積為6，
∴t²-4t+8=6，
整理得t²-4t+2=0，
解得t₁=2-

2

，t₂=2+

2

（舍去），
此時，AP=2×（2-

2

）=4-2

2

，
所以，點P的坐標(biāo)為（4-2

2

，4）；
②2＜t＜4時，點P從B到A，點Q在BC上，
PB=2t-4，S_△OPQ=S_梯形OPBC-S_△PBQ-S_△OCQ，
=

1

2

（2t-4+4）×4-

1

2

×（2t-4）t-

1

2

×4（4-t），
=-t²+8t-8，
∵△OPQ的面積為6，
∴-t²+8t-8=6，
整理得t²-8t+14=0，
解得t₁=4-

2

，t₂=4+

2

（舍去），
此時，AP=8-2t=8-2（4-

2

）=2

2

，
所以，點P的坐標(biāo)為（2

2

，4）；
③4≤t＜8時，點P在AB上，點Q在OC上，
OQ=4+4-t=8-t，
S_△OPQ=

1

2

×（8-t）×4=6，
解得t=5，
此時，點P運動的路程為2×5=10，
AP=10-4×2=2，
所以，點P的坐標(biāo)為（2，4），
綜上所述，P點坐標(biāo)為（4-2

2

，4）或（2

2

，4）或（2，4）．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了正方形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，相似三角形的面積，三角形的面積，難點在于（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的不同分情況討論，（3）根據(jù)點P、Q的位置的不同分情況表示出△OPQ的面積．