Question

如圖，BC是半⊙O的直徑，點(diǎn)P是半圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)A是弧BP的中點(diǎn)，AD⊥BC于D，連結(jié)AB、PB、AC，BP分別與AD、AC相交于點(diǎn)E、F．
（1）BE與EF相等嗎？并說(shuō)明理由；
（2）小李通過(guò)操作發(fā)現(xiàn)CF=2AB，請(qǐng)問小李的發(fā)現(xiàn)是否正確？若正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不正確，請(qǐng)寫出CF與AB正確的關(guān)系式．
（3）求

AF

FC

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）根據(jù)圓周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案；
（3）求出

AF

CF

=

AH

CP

，求出AH、CP的長(zhǎng)，代入即可求出答案．

解答：解：（1）BE=EF，
理由是：∵BC是直徑，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
∵A為弧BP中點(diǎn)，
∴∠ABP=∠ACB，
∴∠BAD=∠ABP，
∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，
∴EF=AE，
∴BE=EF；

（2）小李的發(fā)現(xiàn)是正確的，
理由是：延長(zhǎng)BA、CP，兩線交于G，
∵P為半圓弧的中點(diǎn)，A是弧BP的中點(diǎn)，
∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，
在△PCF和△PBG中，

∠PCF=∠PBG PC=BP ∠CPF=∠BPG

∴△PCF≌△PBG（ASA），
∴CF=BG，
∵BC為直徑，
∴∠BAC=°，
∵A為弧BP中點(diǎn)，
∴∠GCA=∠BCA，
在△BAC和△GAC中

∠CAB=∠CAG AC=AC ∠BCA=∠GCA

∴△BAC≌△GAC（ASA），
∴AG=AB=

1

2

BG，
∴CF=2AB；

（3）連接OA交BP于H，
∵A為弧BP的中點(diǎn)，
∴OA⊥BP，
∵∠BPC=90°，
∴OA∥CP，
∴△AHF∽△CPF，
∴

AF

CF

=

AH

CP

，
設(shè)OA=r，BC=2r，
∵BP=CP，∠BPC=90°，
∴PC=

2

r，
∵OA∥CP，BO=OC，
∴OH=

1

2

CP=

2

2

r，AH=r-

2

2

r，
∴

AF

CF

=

2 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．