Question

如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連接FC（AB＞AE）．
（1）求證：△AEF∽△DCE；
（2）△AEF與△EFC是否相似？若相似，證明你的結(jié)論；若不相似，請說明理由；
（3）設

AB

BC

=k，若△AEF∽△BCF，則k=

 

（請直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）由EF垂直于EC，利用平角定義得到一對角互余，再由直角三角形AEF中兩銳角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的三角形相似即可得證；
（2）要求兩三角形相似，已知條件有一組直角，我們只需再證得一組對應角相等即可得出兩三角形相似，根據(jù)FE⊥EC，因此∠AEF和∠DCE都是∠DEC的余角，因此∠AEF=∠DCE，我們只要再得出∠DCE=∠FCE即可，可通過構(gòu)建全等三角形來求解，延長FE交CD于G，我們不難得出△AEF和△GED全等，那么EF=EG，再根據(jù)一組直角和一條公共邊我們可得出△FEC和△GEC全等，即可得出∠FCE=∠GCE也就得出了∠AEF=∠ECF，于是就湊齊了兩三角形相似的條件．
（3）要想使兩三角形相似，已知的條件有一組直角，那么分兩種情況進行討論：當∠AFE=∠FCB時，那么∠AFE就和∠BFC互余，因此∠EFC就是直角，而∠FEC也是直角因此這種情況是不成立的．當∠AEF=∠FCB時，AE：BC=AF：BF，那么由于E是AD中點，因此BC=2AE，所以我們可得出BF=2AF，即AB=3AF，又根據(jù)（1）中AF=GD，AB=CD，我們可在△CEG中根據(jù)△EGD和△EDC相似，得出關于GD、ED、DC的比例關系，也就是AF、AB、AE的比例關系，有了AB=3AF，就能求出ED與AF的比例關系，也就求出了BC與AF的比例關系，以AF為中間值即可得出AB與BC的比例關系，也就求出了k的值．

解答：解：（1）∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，即∠AEF+∠DEC=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠DEC=∠AFE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DCE；
（2）△AEF∽△ECF．證明如下：
延長FE與CD的延長線交于G，
∵E為AD的中點，AE=DE，∠AEF=∠GED，
∴Rt△AEF≌Rt△DEG．
∴EF=EG．
∵CE=CE，∠FEC=∠CEG=90°，
∴Rt△EFC≌Rt△EGC．
∴∠AFE=∠EGC=∠EFC．
又∵∠A=∠FEC=90°，
∴Rt△AEF∽Rt△ECF；
（3）設AD=2x，AB=b，DG=AF=a，則FB=b-a，
∵∠GEC=90°，ED⊥CD，
∴ED²=GD•CD
∴x²=ab，
假定△AEF與△BFC相似，則有兩種情況：
當∠AFE=∠BCF，則有∠AFE與∠BFC互余，于是∠EFC=90°，因此此種情況是不成立的；
當∠AFE=∠BFC，
∵△AEF∽△BCF，
∴

AF

AE

=

BF

BC

，即

a

x

=

b-a

2x

，
整理得：b=3a，
∴x²=ab=3a²，即x=

3

a，
則k=

AB

BC

=

b

2x

=

3a

2 3 a

=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)相似三角形得出相關線段間的比例關系是解題的關鍵．