Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的半圓O交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；
（2）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如果⊙O的直徑為9，cosB=，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接AD．
∵AB為直徑，∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴D是BC的中點(diǎn)；

（2）DE是⊙O的切線．
證明：連接OD．
∵BD=DC，OB=OA，
∴OD∥AC．
∵AC⊥DE，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．

（3）解：∵AB=9，cosB=，
∴BD=3．
∴CD=3．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴cosC=．
∴在△CDE中，
CE=1，DE==．
分析：（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易證；
（2）相切．連接OD，證明OD⊥DE即可．根據(jù)三角形中位線定理證明；
（3）由已知可求BD，即CD的長(zhǎng)；又∠B=∠C，在△CDE中求DE的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題，難度不大．