Question

18．如圖，已知正比例函數(shù)y=2x和反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于點(diǎn)A（m，-2）
（1）求k的值并直接寫出兩個函數(shù)圖象的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）觀察圖象，直接寫出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍；
（3）若雙曲線上點(diǎn)C（2，n）沿OA方向平移$\sqrt{5}$個單位長度得到點(diǎn)B，判斷四邊形OABC的形狀并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先把A（m，-2）坐標(biāo)代入正比例函數(shù)y=2x求出m的值，故可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式求出k的值，根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱可得出另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）直接根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)勾股定理求出OA的長，再由圖形平移的性質(zhì)得出CB=OA，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，由勾股定理求出OC的長，由此可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵A（m，-2）在y=2x上，
∴-2=2m，
∴m=-1，
∴A（-1，-2），
又∵點(diǎn)A在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=2，
∴解析式為y=$\frac{2}{x}$；另一個交點(diǎn)為（1，2）

（2）觀察圖象可知自變量x的取值范圍為-1＜x＜0或x＞1；

（3）四邊形OABC是菱形．
證明：∵A（-1，-2），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵由題意知：CB∥OA且CB=$\sqrt{5}$，
∴CB=OA，
∴四邊形OABC是平行四邊形．
∵C（2，n）在y=$\frac{2}{x}$上，
∴n=1，
∴C（2，1），OC=$\sqrt{5}$，
∴OC=OA，
∴四邊形OABC是菱形．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、正比例函數(shù)的性質(zhì)、菱形的判定等知識，根據(jù)題意得出m的值是解答此題的關(guān)鍵．