Question

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC，B（-2，0），AO=

3

5

BC，tan∠CAO=

4

3

，
（1）求直線AC的解析式；
（2）動點P從點B出發(fā)以5個單位/秒的速度沿BC向終點C運動，過P作PQ⊥AC，垂足為Q，設點P運動時間為t，線段CQ長為y，求y與t的函數(shù)關系式；（并直接寫出時間t的取值范圍）
（3）在（2）的條件下，連接OQ，將△COQ沿著直線OQ折疊，得到△EOQ（C的對稱點為E），在點P的運動過程中，是否存在EQ垂直于△ABC的一邊（AB邊除外）？若存在，求t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)正切函數(shù)的定義設OC=4x，則OA=3x，再由OA=

3

5

BC，列出關于x的方程，求出A、C兩點的坐標，然后運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；
（2）在Rt△CPQ中，運用余弦函數(shù)的定義求出y與t的函數(shù)關系式，并根據(jù)動點P的運動范圍寫出時間t的取值范圍；
（3）分兩種情況討論：①Q(mào)E⊥BC，②QE⊥AC．

解答：解：（1）∵tan∠CAO=

OC

OA

=

4

3

，
∴設OC=4x，則OA=3x，
又∵OA=

3

5

BC，
∴3x=

3

5

（2+4x），
解得x=2，
∴OA=6，OC=8，
∴A（0，6），C（8，0）．
設直線AC的解析式為y=kx+b，則
b=6，8k+b=0，
∴b=6，k=-

3

4

，
故直線AC的解析式為y=-

3

4

x+6；

（2）在Rt△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

62+82

=10．
∵BP=5t，BC=10，∴CP=10-5t．
在Rt△CPQ中，cosC=

QC

PC

，
∴y=QC=PC•cosC=

4

5

（10-5t）=8-4t（0≤t＜2）；

（3）在點P的運動過程中，存在EQ垂直于△ABC的一邊．理由如下：
若延長EQ交BC于M，則QE=CQ=8-4t．
①若QE⊥BC，則∠QMC=90°．
QM=QC•sinC=

3

5

（8-4t），MC=QC•cosC=

4

5

（8-4t），
∴EM=QE+QM=

8

5

（8-4t），OM=OC-MC=8-

4

5

（8-4t）=

16

5

t+

8

5

，
tanE=tanC=

OM

EM

=

16 5 t+ 8 5

8 5 (8-4t)

=

3

4

，
∴t=1；
②若QE⊥AC，則∠EQC=90°，
∴∠OQE=∠OQC=135°，∠OQA=45°．
作OM⊥AC于M，則OM=OC•sinC=8×

3

5

=

24

5

，MC=OC•cosC=

4

5

×8=

32

5

．
∵△OQM中，∠OMQ=90°，∠OQM=45°，
∴∠MOQ=45°，
∴MQ=OM=

24

5

，
∴QC=

8

5

，
∴8-4t=

8

5

，
解得t=

8

5

．
綜上可知，在點P的運動過程中，存在EQ垂直于△ABC的一邊（AB邊除外），此時t的值為1或

8

5

．

點評：本題主要考查了運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，勾股定理，解直角三角形，以及一次函數(shù)的綜合應用，要注意的是（3）中，要根據(jù)E點的不同位置進行分類求解．