Question

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB= ，AA1=2，D為AA1的中點，BD與AB1交于點O，CO⊥側(cè)面ABB1A1 ．
（1）證明：CD⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意可知，在Rt△ABD中，tan∠ABD= = ，

在Rt△ABB1中，tan∠AB1B= = ．

又因為0＜∠ABD，∠AB1B ，所以∠ABD=∠AB1B，

所以∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1= ，

所以AB1⊥BD．

又CO⊥側(cè)面ABB1A1，且AB1側(cè)面ABB1A1，∴AB1⊥CO．又BD與CO交于點O，所以AB1⊥平面CBD．

又因為BC平面CBD，所以BC⊥AB1．

（2）解：如圖所示，以O(shè)為原點，分別以O(shè)D，OB1，OC所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，﹣ ，0），B（﹣ ，0，0），C（0，0， ），

B1（0， ，0），D（ ，0，0）．

又因為 =2 ，所以C1（ ， ， ）．

所以 =（﹣ ， ，0）， =（0， ， ）， =（ ， ， ）．

設(shè)平面ABC的法向量為 =（x，y，z），

則由 ，得

令y= ，則z=﹣ ，x=1， =（1， ，﹣ ）是平面ABC的一個法向量．

設(shè)直線C1D與平面ABC所成的角為α，

則sin α= = ．

故直線C1D與平面ABC所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）推導(dǎo)出∠ABD=∠AB1B，從而∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1= ，進而AB1⊥BD．由線面垂直得AB1⊥CO．從而AB1⊥平面CBD．由此能證明BC⊥AB1 ． （2）以O(shè)為原點，分別以O(shè)D，OB1 ， OC所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線C1D與平面ABC所成角的正弦值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．