Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知關(guān)于x的方程x²-（c+4）x+4c+8=0．
（1）若a，b是方程的兩根，求證△ABC為直角三角形；
（2）若在（1）的條件下，且25asinA=9c，求此直角三角形三邊的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）∵a，b是方程的根，
∴a+b=c+4，ab=4c+8．
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（c+4）²-2×（4c+8）=c²+8c+16-8c-16=c²．
根據(jù)勾股定理的逆定理知△ABC為直角三角形．

（2）由（1）知∠C=90°，故sinA=．
又25asinA=9c，則sinA=，
∴=，
∴=，
得，
則可得．
由a+b=c+4，可得，
解得c=10．
∴a=6，b=8．
分析：（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，推出a，b，c的三邊關(guān)系，從而根據(jù)勾股定理的逆定理可證．
（2）由三角函數(shù)的定義，結(jié)合已知，分析三邊關(guān)系，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可求得c，從而求出a，b．
點(diǎn)評(píng)：此類題目是中學(xué)階段常規(guī)題目，此類題目在根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解得答案時(shí)要代入原方程得判別式進(jìn)行檢驗(yàn)．一元二次方程的兩個(gè)根x₁、x₂具有這樣的關(guān)系：x₁+x₂=-，x₁•x₂=．