Question

兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F(xiàn)是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點．
（1）如圖1，若點D、E分別在AC、BC的延長線上，通過觀察和測量，猜想FH和FG的數(shù)量關系為

 

和位置關系為

 

；
（2）如圖2，若將三角板△DEC繞著點C順時針旋轉至ACE在一條直線上時，其余條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立，若成立，請證明，不成立請說明理由；
（2）如圖3，將圖1中的△DEC繞點C順時針旋轉一個銳角，得到圖3，（1）中的猜想還成立嗎？直接寫出結論，不用證明．

Answer 1

分析：（1）證AD=BE，根據(jù)三角形的中位線推出FH=

1

2

AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=

1

2

BE，F(xiàn)G∥BE，即可推出答案；
（2）證△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案；
（3）連接BE、AD，根據(jù)全等推出AD=BE，根據(jù)三角形的中位線定理即可推出答案．

解答：（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，
∴BE=AD，
∵F是DE的中點，H是AE的中點，G是BD的中點，
∴FH=

1

2

AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=

1

2

BE，F(xiàn)G∥BE，
∴FH=FG，
∵AD⊥BE，
∴FH⊥FG，
故答案為：相等，垂直．

（2）答：成立，
證明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，
由（1）知：FH=

1

2

AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=

1

2

BE，F(xiàn)G∥BE，
∴FH=FG，F(xiàn)H⊥FG，
∴（1）中的猜想還成立．

（3）答：成立，結論是FH=FG，F(xiàn)H⊥FG．
連接AD，BE，兩線交于Z，AD交BC于X，
同（1）可證
∴FH=

1

2

AD，F(xiàn)H∥AD，F(xiàn)G=

1

2

BE，F(xiàn)G∥BE，
∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中

AC=BC ∠ACD=∠BCE CE=CD

，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，
∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，
∴∠DXB+∠EBC=90°，
∴∠EZA=180°-90°=90°，
即AD⊥BE，
∵FH∥AD，F(xiàn)G∥BE，
∴FH⊥FG，
即FH=FG，F(xiàn)H⊥FG，
結論是FH=FG，F(xiàn)H⊥FG

點評：本題主要考查對等腰直角三角形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的中位線定理，旋轉的性質等知識點的理解和掌握，能熟練地運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．