Question

4．兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°，BC=1，將圖1中的△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至圖2，點P是AC與BA交點，點E是BC上一點，BE⊥BA，則△PBE面積最大值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 先利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠ABC=60°，AC=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$，AB=2BC=2，設(shè)PB=x，則AP=2-x，再證明△CBE∽△CAP，利用相似比得到BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2-x），利用三角形面積公式得到S_△PBE=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求△PBE的面積的最大值．

解答 解：在△ACB，∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，
∴∠ABC=60°，AC=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$，AB=2BC=2，
設(shè)PB=x，則AP=2-x，
∵BE⊥BA，
∴∠EBC=90°-60°=30°，
∵∠A₁CB₁=∠ACB=90°，
∴∠1=∠2，
而∠CBE=∠A=30°，
∴△CBE∽△CAP，
∴BE：AP=CB：CA，即BE：（2-x）=1：$\sqrt{3}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2-x），
∴S_△PBE=$\frac{1}{2}$•BE•PB=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$•（2-x）•x=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
當x=1時，△PBE的面積最大，最大值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故選B．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)．