Question

【題目】已知：如圖，⊙O與⊙P相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于點(diǎn)A，CP及其延長(zhǎng)線交⊙P于D、E，過點(diǎn)E作EF⊥CE交CB的延長(zhǎng)線于F．

（1）求證：BC是⊙P的切線；

（2）若CD＝2，CB＝2，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接PA，PB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)證明∠PBC是直角，從而可以確定CB是⊙P的切線；
（2）根據(jù)△FCE∽△PCB，則，由于CB是⊙P的切線，所以根據(jù)CB2=CD（CD+DE），可以求得DE的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得CE的長(zhǎng)度；再求得BP的長(zhǎng)度即可，在Rt△CPB中，CP=3，CB=2，則可求得EF的長(zhǎng)度．

（1）連接PB，PA，

∵點(diǎn)P在⊙O上，

∵⊙O的弦AC切⊙P于點(diǎn)A，

∴∠CAP＝90°，

∵四邊形APBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠PBC＝90°，即PB⊥CB．

∵B在⊙P上，

∴CB是⊙P的切線．

（2）∵CB是⊙P的切線，

∴CB2＝CD（CD+DE）．

∵CD＝2，CB＝，

∴（2）2═2×（2+ED）．

∴DE＝2．

∴CE＝CD+DE＝2+2＝4．

∴在⊙P中，PD＝PE＝ED＝1，

∵CP＝3，CB＝2，

∴BP＝1．

∵EF⊥CE，

∴∠FEC＝∠CBP＝90°，∠FCE＝∠PCB．

∴△FCE∽△PCB．

∴，

∵CB＝2，CE＝4，BP＝1，

∴，

∴EF＝．