Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作⊙O的切線與CD的延長線交于點(diǎn)F，如果DE=CE，AC=，D為EF的中點(diǎn)．
（1）求證：∠AFC=∠ACF；
（2）求AB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BC，由AF為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到AB與AF垂直，可得出∠DAF與∠DAB互余，再由D為EF的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半及中點(diǎn)的定義得到AD=DE=DF，利用等邊對等角得到∠DAF=∠AFC，又AB為圓的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，可得出∠ACB為直角，即∠ECB與∠FCA互余，再由同弧所對的圓周角相等得到∠ECB=∠DAB，利用等角的余角相等可得出∠DAF=∠FCA，等量代換可得出∠FCA=∠AFC；
（2）過C作CG垂直于AB，垂足為G，又AF垂直于AB，利用平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AF與CG平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等得到一對角相等，再由對頂角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出三角形AEF與三角形ECG相似，由相似得比例列出比例式，由DF=DE及DE與EC的比值，求出CE與EF的比值，可得出AF與CG的比值，又AF=AC，進(jìn)而確定出AC與CG的比值，利用銳角三角形函數(shù)定義求出cos∠CAB的值，在直角三角形ABC中，由AC的長及cos∠CAB的值，利用銳角函數(shù)定義即可求出AB的長．
解答：解：（1）連接BC，AD．
∵AF為⊙O的切線，
∴AF⊥AB，即∠DAF+∠DAB=90°，
∵D為EF的中點(diǎn)，
∴DF=DE=AD，
∴∠DAF=∠AFC，
∵∠DAF=∠ACF，
∴∠FCA=∠AFC；

（2）過C作CG⊥AB于G，
∵AF⊥AB，
∴AF∥CG，
∴∠F=∠ECG，又∠AEF=∠CEG，
∴△AEF∽△GEC，
∴AF：CG=AE：EG=EF：EC，
∵DE=CE，DF=DE，
∴CE：FE=2：3，
∴CG：AF=2：3，…（3分）
∵∠FCA=∠AFC，
∴AF=AC=8，
Rt△ACG中，CG：AC=2：3，
∴cos∠CAB=，…（4分）
在Rt△ACB中，AC=8，
∴AB==24．…（5分）
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．