Question

9．正方形ABCD中，∠EAF=45°．求證：EF=BF+DE．

Answer 1

分析 先由正方形的性質得AB=AD，∠BAC=∠D=∠ABC=90°，則可把△AED繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，如圖，根據旋轉的性質得AG=AE，BG=DE，∠EAG=90°，∠ABG=∠D=90°，于是可判斷點G在CB的延長線上，得到BF+BG=GF，然后證明△AEF≌△AGF得到EF=FG，于是有EF=BF+BG=BF+DE．

解答 證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠D=∠ABC=90°，
∴把△AED繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，如圖，
∴AG=AE，BG=DE，∠EAG=90°，∠ABG=∠D=90°，
∴點G在CB的延長線上，
∴BF+BG=GF，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=45°，
在△AEF和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=FG，
∴EF=BF+BG=BF+DE．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質和三角形全等的判定與性質．