Question

如果一個凸多邊形有且僅有三個內角是鈍角，那么這種多邊形的邊數不可能是

1. A.
   4
2. B.
   5
3. C.
   6
4. D.
   7

Answer 1

D
分析：由一個凸多邊形有且僅有三個內角是鈍角得到這個凸多邊形有且僅有三個外角是銳角（每個頂點處取一個外角），根據多邊形的外角和為360°，討論：當這個多邊形的邊數為4時，第四個角外角為鈍角；當這個多邊形的邊數為5時，另外兩個外角可能為鈍角；當這個多邊形的邊數為6時，另外三個外角可能為鈍角；當這個多邊形的邊數為7時，另外四個外角不可能都為鈍角．
解答：∵一個凸多邊形有且僅有三個內角是鈍角，
∴這個凸多邊形有且僅有三個外角是銳角（每個頂點處取一個外角），
而多邊形的外角和為360°，
當這個多邊形的邊數為4時，第四個角外角為鈍角；
當這個多邊形的邊數為5時，另外兩個外角可能為鈍角，如40°、40°、40°、120°、120°；
當這個多邊形的邊數為6時，另外三個外角可能為鈍角，如20°、20°、20°、100°、100°、100°；
當這個多邊形的邊數為7時，另外四個外角不可能都為鈍角．
故選D．
點評：本題考查了多邊形的內角和定理和外角和定理：n邊形的內角和為（n-2）×180°；n邊形的外角和360°．