Question

（1998•寧波）某房地產公司要在一地塊（圖中矩形ABCD）上，規(guī)劃建造一個小區(qū)公園（矩形GHCK），為了使文物保護區(qū)△AEF不被破壞，矩形公園的頂點G不能在文物保護區(qū)內，已知AB=200m，AD=160m，AE=60m；AF=40m．
（1）當矩形小區(qū)公園的頂點G恰是EF的中點時，求公園的面積；
（2）當G在EF上什么位置時，公園面積最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）本題中我們可設DK的值是xm，那么根據∠FEA的正切值，我們不難得出BH=（40-x）m，此時便可根據矩形的面積公式，用DK、BH表示出KC、CH，以得出公園的面積與DK的函數關系式，然后G在EF中點時，DK=30m，可將x=30代入函數式中求出公園的面積．
（2）根據（1）得出的函數的性質，即可得出公園的最大值以及此時DK的長，有了DK的長，就能求出G在EF上的位置了．
解答：解：（1）過點G作GP⊥AD于P，作GQ⊥AB于Q，
∴∠FPG=∠GQE=90°，
∵EG=FG，
∵PH∥AB，
∴∠FGP=∠GEQ，
∴△FPG≌△GQE（AAS），
∴GQ=FP，QE=PG，
∴DK=QE，FP=BH，
∴FP：DK=AF：AE=2：3，
設DK=xm，那么BH=（40-x）m；
設公園的面積為ym²，由題意可知：
y=（200-x）（160-40+x）=-x²+x+24000（0≤x≤60）
當G在EF中點時，∵AE=60m，
∴DK=30m．
那么y=（200-30）×（160-40+20）=23800m²．
即當頂點G在EF中點時，公園的面積是23800平方米．

（2）由（1）的函數關系式知
y=-（x-10）²+，
因此當x=10時公園的面積最大，此時即當GF=EF時，公園的面積最大．
點評：本題主要考查了二次函數的應用，弄清楚DK，BH之間的數量關系是解題的關鍵．