Question

如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，E是AC的中點(diǎn)，ED、CB的延長線交于F，求證：FB•CD=FD•DB．

Answer 1

證明：∵CD是Rt△ABC斜邊上的高，E是AC的中點(diǎn)
∴CE=ED=AE．
∴∠EDA=∠A，∠1=∠2
∵∠1+∠EDA=90°，∠EDA=∠BDF，
∴∠1+∠BDF=90°
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠BDF=90°
∵∠2+∠DCF=90
∴∠BDF=∠DCF
∴△FDB∽△FCD
∴
∴FB•CD=FD•DB．
分析：由于CD是Rt△ABC斜邊上的高，E是AC的中點(diǎn)，由此得到CE=ED=AE，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EDA=∠A，∠1=∠2，接著利用已知條件可以證明∠BDF=∠DCF，由此得到△FDB∽△FCD，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．
點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，解題時(shí)首先利用直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)構(gòu)造等腰三角形，然后利用等腰三角形的性質(zhì)得到相似條件即可解決問題．