Question

某校一間宿舍里有若干名學(xué)生，其中一人擔(dān)任舍長(zhǎng)．元旦時(shí)，該宿舍里的每名學(xué)生互贈(zèng)一張賀卡，并且每人又贈(zèng)給宿舍樓的每位管理員一張賀卡，每位宿舍管理員也回贈(zèng)舍長(zhǎng)一張賀卡，這樣共用去了51張賀卡，問這間宿舍里住有多少名學(xué)生和管理員？

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：

分析：設(shè)有x個(gè)學(xué)生，y個(gè)管理員．
①該宿舍每位學(xué)生與贈(zèng)一張賀卡，那么每個(gè)人收到的賀卡就是x-1張，那么總共就用去了x（x-1）（乘法原理）張賀卡；
②每個(gè)人又贈(zèng)給每一位管理員一張賀卡，那么就用去了xy（乘法原理）張賀卡；
③每位管理員也回贈(zèng)舍長(zhǎng)一張賀卡，那么就用去了y張賀卡；
所以根據(jù)題意列出方程：x（x-1）+xy+y=51（加法原理），然后根據(jù)生活實(shí)際情況解方程即可．

解答：解：設(shè)有x個(gè)學(xué)生，y個(gè)管理員．
該宿舍每位學(xué)生與贈(zèng)一張賀卡，那么每個(gè)人收到的賀卡就是x-1張，那么總共就用去了x（x-1）張賀卡；
每個(gè)人又贈(zèng)給每一位管理員一張賀卡，那么就用去了xy張賀卡；
每位管理員也回贈(zèng)舍長(zhǎng)一張賀卡，那么就用去了y張賀卡；
∴x（x-1）+xy+y=51，
∴51=x（x-1）+xy+y=x（x-1）+y（x+1）≥x（x-1）+x+1=x²+1（當(dāng)y=1時(shí)取“=”），
解得x≤7；
x（x-1）+（x+1）y=51
∵51是奇數(shù)，而x和x-1中，有一個(gè)是偶數(shù)，
∴x（x-1）是偶數(shù)，
∴（x+1）y是奇數(shù)，
∴x是偶數(shù)，
而x≤7，所以x只有2 4 6三種情況；
當(dāng)x=2時(shí)，y=

49

3

（不是整數(shù)，舍去）；
當(dāng)x=4時(shí)，y=

39

5

（不是整數(shù)，舍去）；
當(dāng)x=6時(shí)，y=3．
所以這個(gè)宿舍有6個(gè)學(xué)生．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了加法原理和乘法原理．解答此題的難點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際情況解方程x（x-1）+（x+1）y=51，解該方程利用了奇數(shù)與偶數(shù)的知識(shí)．