Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD=CB，延長CD交BA的延長線于點E．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）求證：∠C=2∠DBE；
（3）若EA=AO=2，求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

考點：切線的判定與性質,扇形面積的計算

專題：綜合題

分析：（1）連接OD，由BC為圓O的切線，利用切線的性質得到∠ABC為直角，由CD=CB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OB=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，進而得到∠ODC=∠ABC，確定出∠ODC為直角，即可得證；
（2）根據圖形，利用外角性質及等邊對等角得到∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE，由（1）得：OD⊥EC于點D，可得∠E+∠C=∠E+∠DOE=90°，等量代換即可得證；
（3）作OF⊥DB于點F，利用垂徑定理得到F為BD中點，連接AD，由EA=AO可得：AD是Rt△ODE斜邊的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AD=AE=AO，即三角形AOD為等邊三角形，確定出∠DAB=60°，即∠OBD=30°，在直角三角形BOF中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出OF的長，利用勾股定理求出BFO的長，得到BD的長，得出∠DOB為120°，由扇形BDO面積減去三角形BOD面積求出陰影部分面積即可．

解答：（1）證明：連接OD，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠ABC=90°，
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD，
∵點D在⊙O上，
∴CD為⊙O的切線；

（2）證明：如圖，∠DOE=∠ODB+∠OBD=2∠DBE，
由（1）得：OD⊥EC于點D，
∴∠E+∠C=∠E+∠DOE=90°，
∴∠C=∠DOE=2∠DBE；

（3）解：作OF⊥DB于點F，連接AD，
由EA=AO可得：AD是Rt△ODE斜邊的中線，
∴AD=AO=OD，
∴∠DOA=60°，
∴∠OBD=30°，
又∵OB=AO=2，OF⊥BD，
∴OF=1，BF=

3

，
∴BD=2BF=2

3

，∠BOD=180°-∠DOA=120°，
∴S_陰影=S_扇形OBD-S_△BOD=

120π×22

360

1

2

×2

3

×1=

4π

3

-

3

．

點評：此題考查了切線的判定與性質，以及扇形面積的計算，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．