Question

9．如圖，MN是半徑為4cm的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn)．點(diǎn)P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖作點(diǎn)A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交MN于P，此時(shí)PA+PB最小，且此時(shí)PA+PB=BA′，只要證明△BOA′是直角三角形即可解決問題．

解答 解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交MN于P，此時(shí)PA+PB最小，連接OB、OA′．
∵PA=PA′，
∴PA+PB=PA′+PB=BA′，
∵∠AMN=30°，點(diǎn)B是AM弧中點(diǎn)，
∴∠BOM=∠AMN=30°，
∵∠AMN=∠A′MN=30°，OB=OA′，
∴∠OMA=∠OA′M=30°，
∴∠NOA′=∠OMA′+∠OA′M=60°，
∴∠BOA′=90°，
∴A$′B=\sqrt{2}OB$=4$\sqrt{2}$，
∴PA+PB的最小值=4$\sqrt{2}$．
故答案為4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查最短問題、圓的有關(guān)知識(shí)，利用對稱是解決最短問題的關(guān)鍵，在求線段BA′時(shí)猜想線段BA′是不是特殊三角形的邊，把問題轉(zhuǎn)化為求特殊三角形的邊的問題，屬于中考常考題型．