Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段AD上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為BC上一點(diǎn)，且AP=CQ．

（1）求證：BP=DQ；

（2）若AB=4，且當(dāng)PD=5時(shí)四邊形PBQD為菱形．求AD為多少．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）8.

【解析】

（1）依據(jù)矩形的性質(zhì)，通過全等三角形的判定定理判定△ABP≌△QCD，所以BP=DQ．

（2）設(shè)AP=a，AD=5+a．當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB=PD=5．在直角△ABP中，根據(jù)勾股定理得到AP2+AB2=PB2，即a2+42=52，由此可以求得a，再可得AD的長度．

證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠C=90°，AB=CD，

在Rt△ABP和Rt△QCD中，

∴△ABP≌△QCD（ASA），

∴BP=DQ；

（2）設(shè)AP=a，AD=5+a．

當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB=PD=5，

在直角△ABP中，根據(jù)勾股定理得到AP2+AB2=PB2，即a2+42=52，

可得：a=3，

所以AD=3+5=8．