Question

4．如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C（0，3），且拋物線的頂點D（-1，4）．
（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；
（2）P是直線AC上方的拋物線上的任意一點，求四邊形PAOC的面積S的最大值和此時點P的坐標；
（3）F是拋物線的對稱軸上一點，當F到直線AC的距離等于線段FB長度的一半時，求點F的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得A點坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法，可得AC的解析式；
（2）根據(jù)線段的和差，可得PE的長，根據(jù)面積的和差，可得函數(shù)解析式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案；再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得P點坐標；
（3）根據(jù)點到直線的距離，可得F到直線AC的距離，根據(jù)勾股定理，可得BF的長，根據(jù)F到直線AC的距離等于線段FB長度的一半，可得關于b的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）將頂點坐標D（-1，4）、點（0，3）代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-1}\\{\frac{4ac-^{2}}{4a}=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；
當y=0時，-x²-2x+3=0，解得x₁=-3，x₂=1，
即A（-3，0），B（1，0）．
設AC的解析式為y=kx+b，將A、C點坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
AC的解析式為y=x+3；
（2）如圖1，
作PE⊥x軸交AC于E點，設P（m，-m²-2m+3），E（m，m+3），PE=-m²-3m，
S=S_△PAC+S_△AOC=$\frac{1}{2}$PE•x_A+$\frac{1}{2}$AO•OC
=$\frac{1}{2}$（-m²-3m）×3+$\frac{1}{2}$×3×3
=-$\frac{3}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63}{8}$，
當m=-$\frac{3}{2}$時，S_最大=$\frac{63}{8}$；
當m=-$\frac{3}{2}$時，-m²-2m+3=-$\frac{9}{4}$-2×（-$\frac{3}{2}$）+3=$\frac{15}{4}$，
當m=-$\frac{3}{2}$時，S_最大=$\frac{63}{8}$，P點坐標為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）如圖2，
設F點坐標為（-1，b），
F到AC的距離為$\frac{|-1-b+3|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|2-b|}{\sqrt{2}}$，
DB的長為$\sqrt{（3+1）^{2}+^{2}}$，
由F到直線AC的距離等于線段FB長度的一半，得
$\frac{|2-b|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{4+^{2}}}{2}$．
解得b₁=4+2$\sqrt{3}$，b₂=4-2$\sqrt{3}$，
F₁（-1，4+2$\sqrt{3}$），F(xiàn)₂（-1，4-2$\sqrt{3}$），
綜上所述：當F到直線AC的距離等于線段FB長度的一半，點F的坐標為F₁（-1，4+2$\sqrt{3}$），F(xiàn)₂（-1，4-2$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用面積的和差得出二次函數(shù)是解題關鍵，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)；（3）利用F到直線AC的距離等于線段FB長度的一半得出關于b的方程是解題關鍵．