Question

4．如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，3），且拋物線的頂點(diǎn)D（-1，4）．
（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；
（2）P是直線AC上方的拋物線上的任意一點(diǎn)，求四邊形PAOC的面積S的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）F是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)F到直線AC的距離等于線段FB長度的一半時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法，可得AC的解析式；
（2）根據(jù)線段的和差，可得PE的長，根據(jù)面積的和差，可得函數(shù)解析式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案；再根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得F到直線AC的距離，根據(jù)勾股定理，可得BF的長，根據(jù)F到直線AC的距離等于線段FB長度的一半，可得關(guān)于b的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）將頂點(diǎn)坐標(biāo)D（-1，4）、點(diǎn)（0，3）代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=-1}\\{\frac{4ac-^{2}}{4a}=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；
當(dāng)y=0時(shí)，-x²-2x+3=0，解得x₁=-3，x₂=1，
即A（-3，0），B（1，0）．
設(shè)AC的解析式為y=kx+b，將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
AC的解析式為y=x+3；
（2）如圖1，
作PE⊥x軸交AC于E點(diǎn)，設(shè)P（m，-m²-2m+3），E（m，m+3），PE=-m²-3m，
S=S_△PAC+S_△AOC=$\frac{1}{2}$PE•x_A+$\frac{1}{2}$AO•OC
=$\frac{1}{2}$（-m²-3m）×3+$\frac{1}{2}$×3×3
=-$\frac{3}{2}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63}{8}$，
當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，S_最大=$\frac{63}{8}$；
當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，-m²-2m+3=-$\frac{9}{4}$-2×（-$\frac{3}{2}$）+3=$\frac{15}{4}$，
當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，S_最大=$\frac{63}{8}$，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）如圖2，
設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，b），
F到AC的距離為$\frac{|-1-b+3|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|2-b|}{\sqrt{2}}$，
DB的長為$\sqrt{（3+1）^{2}+^{2}}$，
由F到直線AC的距離等于線段FB長度的一半，得
$\frac{|2-b|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{4+^{2}}}{2}$．
解得b₁=4+2$\sqrt{3}$，b₂=4-2$\sqrt{3}$，
F₁（-1，4+2$\sqrt{3}$），F(xiàn)₂（-1，4-2$\sqrt{3}$），
綜上所述：當(dāng)F到直線AC的距離等于線段FB長度的一半，點(diǎn)F的坐標(biāo)為F₁（-1，4+2$\sqrt{3}$），F(xiàn)₂（-1，4-2$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用面積的和差得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)；（3）利用F到直線AC的距離等于線段FB長度的一半得出關(guān)于b的方程是解題關(guān)鍵．