Question

如圖，⊙O的直徑AB=8，弧AC=弧BC，E為OB上一點(diǎn)，∠AEC=60°，CE的延長(zhǎng)線交⊙O于D，則CD的長(zhǎng)為（ ）

A．6
B．4
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：連接OC、OD，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F．由等弧所對(duì)的圓心角相等知∠AOC=∠BOC=90°；根據(jù)垂徑定理推知CF=DF=CD；然后根據(jù)直角三角形的特殊角的三角函數(shù)值求得CD=2CF=OC•cos30°．
解答：解：連接OC、OD，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F．
∵AB是⊙O的直徑，C為弧AB的中點(diǎn)，
∴∠AOC=∠BOC=90°（等弧所對(duì)的圓心角相等）；
又∵O是圓心，OF⊥CD，
∴CF=DF=CD，（垂徑定理）；
在Rt△OEC中，
∵∠AEC=60°，
∴∠OCE=30°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）；
∴在Rt△OCF中，CF=OC•cos30°；
又AB=8，
∴OC=4；
∴CF=4×=2
∴CD=2CF=4．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理、解直角三角形的相關(guān)知識(shí)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．