已知:如圖,△ABC是邊長(zhǎng)3 cm的等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng),它們的速度都是1 cm/s,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí),△PBQ是直角三角形?
(2)設(shè)四邊形APQC的面積為y(cm2),求y與t的關(guān)系式;是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二?如果存在,求出相應(yīng)的t值;不存在,說(shuō)明理由;
(3)設(shè)PQ的長(zhǎng)為x(cm),試確定y與x之間的關(guān)系式.
解: ⑴答:當(dāng)t=1秒或t=2秒時(shí),△PBQ是直角三角形.…………………4分 根據(jù)題意:AP=tcm,BQ=tcm. △ABC中,AB=BC=3cm,∠B=60°, ∴BP=(3-t)cm. △PBQ中,BP=3-t,BQ=t, 若△PBQ是直角三角形,則∠BQP=90°或∠BPQ=90°. 當(dāng)∠BQP=90°時(shí),BQ= 即t= t=1(秒). 當(dāng)∠BPQ=90°時(shí),BP= 3-t= t=2(秒). ⑵過P作PM⊥BC于M. Rt△BPM中,sin∠B= ∴PM=PB·sin∠B= ∴S△PBQ= ∴y=S△ABC-S△PBQ �。� = ∴y與t的關(guān)系式為:y= 假設(shè)存在某一時(shí)刻t,使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的 則S四邊形APQC= ∴ ∴t2-3t+3=0. ∵(-3)2-4×1×3<0, ∴方程無(wú)解. ∴無(wú)論t取何值,四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的 �、窃赗t△PQM中, MQ= MQ2+PM2=PQ2. ∴x2=[ �。� �。� ∴t2-3t= ∵y= ∴y= ∴y與x的關(guān)系式為:y= |
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