Question

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=-

4

9

(x-2)2+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸的正半軸于點C，其頂點為M，MH⊥x軸于點H，MA交y軸于點N，sin∠MOH=

2 5

5

．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；
（2）過H的直線與y軸相交于點P，過O，M兩點作直線PH的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，若

HE

HF

=

1

2

時，求點P的坐標；
（3）將（1）中的拋物線沿y軸折疊，使點A落在點D處，連接MD，Q為（1）中的拋物線上的一動點，直線NQ交x軸于點G，當Q點在拋物線上運動時，是否存在點Q，使△ANG與△ADM相似？若存在，求出所有符合條件的直線QG的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=-

4

9

(x-2)2+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸的正半軸于點C，其頂點為M，MH⊥x軸于點H，MA交y軸于點N，sin∠MOH=

2 5

5

，求出c的值，進而求出拋物線方程；
（2）如圖1，由OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，可證△OEH∽△HFM，可知HE，HF的比例關(guān)系，求出P點坐標；
（3）首先求出D點坐標，寫出直線MD的表達式，由兩直線平行，兩三角形相似，可得NG∥MD，直線QG解析式．

解答：解：（1）∵M為拋物線y=-

4

9

(x-2)2+c的頂點，
∴M（2，c）．
∴OH=2，MH=|c|．
∵a＜0，且拋物線與x軸有交點，
∴c＞0，
∴MH=c，
∵sin∠MOH=

2 5

5

，
∴

MH

OM

=

2 5

5

．
∴OM=

5

2

c，
∵OM²=OH²+MH²，
∴MH=c=4，
∴M（2，4），
∴拋物線的函數(shù)表達式為：y=-

4

9

(x-2)2+4．

（2）如圖1，∵OE⊥PH，MF⊥PH，MH⊥OH，
∴∠EHO=∠FMH，∠OEH=∠HFM．
∴△OEH∽△HFM，
∴

HE

MF

=

HO

MH

=

1

2

，
∵

HE

HF

=

1

2

，
∴MF=HF，
∴∠OHP=∠FHM=45°，
∴OP=OH=2，
∴P（0，2）．
如圖2，同理可得，P（0，-2）．


（3）∵A（-1，0），
∴D（1，0），
∵M（2，4），D（1，0），
∴直線MD解析式：y=4x-4，
∵ON∥MH，∴△AON∽△AHM，
∴

AN

AM

=

ON

MH

=

AO

AH

=

1

3

，
∴AN=

5

3

，ON=

4

3

，N（0，

4

3

）．
如圖3，若△ANG∽△AMD，可得NG∥MD，
∴直線QG解析式：y=4x+

4

3

，
如圖4，若△ANG∽△ADM，可得

AN

AD

=

AG

AM

∴AG=

25

6

，
∴G（

19

6

，0），
∴QG：y=-

8

19

x+

4

3

，
綜上所述，符合條件的所有直線QG的解析式為：y=4x+

4

3

或y=-

8

19

x+

4

3

．

點評：本題二次函數(shù)的綜合題，要求會求二次函數(shù)的解析式和兩圖象的交點，會應(yīng)用三角形相似定理，本題步驟有點多，做題需要細心．