Question

已知a²+b²=1，，求a+b+ab的取值范圍．

Answer 1

解：∵a²+b²=（a+b）²-2ab，a²+b²=1，
∴ab=，
設(shè)a+b=t，則-≤t≤，
∴y=a+b+ab=+a+b=（t²-1）+t=t²+t-=（t+1）²-1，
∴t=-1時，y有最小值為-1，
t=時，y有最大值，此時y=（+1）²-1=，
∴-1≤y≤，
即a+b+ab的取值范圍為-1≤a+b+ab≤．
分析：由a²+b²=（a+b）²-2ab，a²+b²=1得到ab=，設(shè)a+b=t，則-≤t≤，于是得到=a+b+ab=+a+b=（t²-1）+t，配成頂點式為y=（t+1）²-1，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題和性質(zhì)得到t=-1時，y有最小值為-1；t=時，y有最大值，此時y=（+1）²-1，由此得到a+b+ab的取值范圍．
點評：本題考查了二次函數(shù)的最值問題：先把二次函數(shù)配成頂點式：y=a（x-h）²+k，當a＜0時，x=h，y有最大值k；當a＞0，x=h，y有最小值k．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．