Question

7．已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與直線y=2x-$\sqrt{3}$平行，它與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B；它在y軸上的截距是4．平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)為O．
（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；
（2）在線段AB上求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使P、A、O三點(diǎn)成為等腰三角形的頂點(diǎn)；求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件“一次函數(shù)y=kx+b的圖象與直線y=2x-$\sqrt{3}$平行”、“它在y軸上的截距是4”求得該一次函數(shù)解析式，由兩點(diǎn)確定一條直線畫出函數(shù)圖象；
（2）需要對(duì)△PAO的底邊進(jìn)行分類討論．根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象與直線y=2x-$\sqrt{3}$平行，它與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B；它在y軸上的截距是4，
∴該一次函數(shù)解析式為：y=2x+4．
當(dāng)x=0時(shí)，y=4．
當(dāng)y=0時(shí)，x=-2．
則該直線經(jīng)過點(diǎn)（0，4）和（-2，0），圖象如圖所示：


（2）如圖，①當(dāng)AP=OP時(shí)，點(diǎn)P在線段OA的中垂線上，此時(shí)x=-1，則y=2×（-1）+4=4．故P₁（-1，2）；
設(shè)P（x，2x+4）．
②當(dāng)OA=AP時(shí)，OA²=AP²，即4=（x+2）²+（2x+4）²，解得x=$\frac{10±2\sqrt{5}}{5}$，則y=$\frac{40±4\sqrt{5}}{5}$．
故P₂（$\frac{10+2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{40+4\sqrt{5}}{5}$），P₃（$\frac{10-2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{40-4\sqrt{5}}{5}$）；
③當(dāng)OA=OP時(shí)，OA²=OP²，即4=x²+（2x+4）²，解得x₁=-1.2，x₂=-2，
則y₁=1.6，y₂=0（舍去），
則P₄（-1.2，1.6）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（-1，2）或（$\frac{10+2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{40+4\sqrt{5}}{5}$）或（$\frac{10-2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{40-4\sqrt{5}}{5}$）或（-1.2，1.6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象，等腰三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)點(diǎn)．對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題，應(yīng)該進(jìn)行分類討論，以防漏解或錯(cuò)解．