Question

8、已知m，n（m＞n）是正整數(shù)．
（1）若3^m與3ⁿ的末位數(shù)字相同，求m+n的最小值；
（2）若3^m與3ⁿ的末兩位數(shù)字都相同，求m-n的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先由已知得出，必須且只須3^m-3ⁿ是10的倍數(shù)，即3^m-3ⁿ=3ⁿ（3^m-n-1）是10的倍數(shù)．再確定m-n的最小值，最后求出m+n的最小值．
（2）同樣由已知得出，必須且只須3^m-3ⁿ是10的倍數(shù)，即3^m-3ⁿ=3ⁿ（3^m-n-1）是10的倍數(shù)．通過兩末位數(shù)經(jīng)試算求出m-n的最小值．

解答：解：（1）若3^m與3ⁿ的末位數(shù)字相同，必須且只須3^m-3ⁿ是10的倍數(shù)，即3^m-3ⁿ=3ⁿ（3^m-n-1）是10的倍數(shù)．
又（3ⁿ，10）=1，所以3^m-n-1是10的倍數(shù)，即只需3^s（=3^m-n）的末位數(shù)字是1．
顯然3⁴=81滿足條件，所以m-n的最小值是4．
取n=1，則m=5，此時(shí)m+n最小，其最小值等于6．
答：m+n的最小值是6．
（2）若3^m與3ⁿ的末兩位數(shù)字都相同，必須且只需3^m-3ⁿ是100的倍數(shù)．
即3^m-3ⁿ=3ⁿ（3^m-n-1）是100的倍數(shù)．又（3ⁿ，100）=1，
所以3^m-n-1是100的倍數(shù)，即只需3^r（=3^m-n）的末兩位數(shù)字是01．
由于3^r的末位數(shù)字是1，所以r一定是4的倍數(shù)．令r=4t（t是正整數(shù)）所以3^r=3^4t=81^t的末兩位數(shù)字是01．
經(jīng)試算可知：81¹末兩位數(shù)字是81；81²末兩位數(shù)字是61；81³末兩位數(shù)字是41；81⁴末兩位數(shù)字是21；81⁵末兩位數(shù)字是01；
當(dāng)t=5時(shí)，81^t的末兩位數(shù)字是01．所以當(dāng)t=5時(shí)，r=4t取得最小值是20，也就是m-n的最小值是20．
答：m-n的最小值是20．

點(diǎn)評(píng)：本題的命題思路源于1978年第20屆IMO的試題1：“與的最后三位數(shù)相等，試求使最小的正整數(shù)這里”，是這道IMO試題的簡(jiǎn)化．會(huì)解本題的同學(xué)，已經(jīng)為解決這類競(jìng)賽試題作了知識(shí)與思路的必要的準(zhǔn)備．此題難度較大．