Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為梯形，且OA=AB=BC=4，∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動（運動到點C為止）．
（1）求A、B兩點坐標；
（2）求當t=

3

時，△POQ的面積；
（3）直線l運動時間為t秒，它在梯形內掃過的面積為S，求S和t的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）首先過點A作AD⊥OC于D，過點B作BE⊥OC于E，分別求出AD與DO的長，即可得出A，B兩點的坐標；
（2）當t=

3

時，OQ=

3

PQ=OQ•tan60°=3，即可得出△POQ的面積；
（3）分別對當0≤t≤2時，以及當2＜t≤6時和當6＜t≤8時進行分析得出函數關系式即可．

解答：解：（1）過點A作AD⊥OC于D，過點B作BE⊥OC于E，
則AD=OA•sin60°=2

3

，OD=OA•cos60°=2，
∴OE=2+4=6，
∴A(2，2

3

)，B(6，2

3

)；

（2）當t=

3

時，OQ=

3

PQ=OQ•tan60°=3，
∴S_△POQ=

1

2

OQ•PQ=

3 3

2

；

（3）由已知得OQ=t，
當0≤t≤2時，點P在OA上，PQ=OQ•tan60o=

3

t，
∴S=

1

2

OQ•PQ=

1

2

t•

3

t=

3

2

t2，
當2＜t≤6時，點P在AB上，
由已知得AP=t-2，
∴S=

1

2

（AP+OQ）•AD=

1

2

（t-2+t）×2

3

=2

3

t-2

3

，
當6＜t≤8時，點P在BC上，
由已知得CQ=8-t，
∴PQ=CQ•tan60o=

3

(8-t)，
∴S=SOABC-S△PCQ=

1

2

(4+8)•2

3

-

1

2

(8-t)•

3

(8-t)=-

3

2

(t-8)2+12

3

，
∴S=

3 2 t2(0≤t≤2) 2 3 t-2 3 (2＜t≤6) - 3 2 (t-8)2+12 3 (6＜t≤8)

．

點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用以及解直角三角形等知識，注意分段函數的求法應借助于自變量的取值范圍來確定，根據自變量的取值范圍分別得出函數解析式是解題關鍵．