Question

根據(jù)圖（1）所示的程序，得到了y與x的函數(shù)，其圖象如圖（2）所示．若點M是y軸正半軸上任意一點，過點M作PQ∥x軸交圖象于點P，Q，連接OP，OQ．以下結(jié)論：
①x＜0時，y=-

2

x

；
②x＜0時，y隨x的增大而減�。�
③PQ=3PM；
④∠POQ可以等于90°；
則其中正確結(jié)論有（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：當(dāng)x小于0時，根據(jù)如圖所示的程序框圖列出y與x的關(guān)系式為y=-

2

x

，此時函數(shù)為增函數(shù)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x大于0時，根據(jù)如圖所示的程序框圖列出y與x的關(guān)系式為y=

4

x

，此時函數(shù)為減函數(shù)，y隨x的增大而減小，設(shè)P（a，b），Q（c，d），分別代入各自解析式，得到ab與cd的值，進(jìn)而確定出三角形POM與三角形QOM的面積，求出面積之比，兩三角形的高為OM，利用三角形面積公式得到PM與QM之比，即可得到PQ與PM的關(guān)系，作出判斷；設(shè)PM=-a，表示出OM，分別利用勾股定理表示出OP與OQ，假設(shè)三角形POQ為直角三角形，利用勾股定理列出方程，此方程有實數(shù)解，可得出假設(shè)正確，∠POQ可以等于90度，即可得到正確選項的個數(shù)．

解答：解：x＜0，y=-

2

x

，∴故選項①正確；
當(dāng)x＜0時，y=-

2

x

，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＞0時，y=

4

x

，y隨x的增大而減小，
選項②錯誤；
設(shè)P（a，b），Q（c，d），
分別代入解析式得：ab=-2，cd=4，
∴S_△OPM=

1

2

|ab|=1，S_△OQM=

1

2

|cd|=2，
∴S_△OPM：S_△OQM=1：2，OM分別為PM、QM邊上的高，
∴PM：QM=1：2，即QM=2PM，
∴PQ=3PM，故選項③正確；
設(shè)PM=-a，則OM=-

2

a

，
則P0²=PM²+OM²=（-a）²+（-

2

a

）²=（-a）²+

4

a2

，QO²=MQ²+OM²=（-2a）²+（-

2

a

）²=4a²+

4

a2

，
當(dāng)PQ²=PO²+QO²=（-a）²+

4

a2

+4a²+

4

a2

=5a²+

8

a2

=9a²，
整理得：

8

a2

=4a²，
∴a⁴=2，
∵a有解，∴∠POQ=90°可能存在，故選項④正確；
故正確的有①③④，共3個．
故選C

點評：主要考查對反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積等知識點的理解和掌握，能根據(jù)這些性質(zhì)進(jìn)行說理是解此題的關(guān)鍵．