Question

如圖1，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果

AC

AB

=

BC

AC

，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁，S₂，如果

S1

S

=

S2

S1

，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．
（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？
（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？
（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，再過點(diǎn)D作直線DF∥CE，交AC于點(diǎn)F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．
（4）如圖4，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥AD，交DC于點(diǎn)F，顯然直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線．請你畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形ABCD各邊黃金分割點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)，則有

AD

AB

=

BD

AD

．如果設(shè)△ABC的邊AB上的高為h，根據(jù)三角形的面積公式，易得

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

，即有

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，根據(jù)圖形的黃金分割線的定義即可判斷；
（2）由于等底同高的兩個(gè)三角形的面積相等，所以三角形任意一邊上的中線都將三角形分成面積相等的兩部分，即有s1=s2=

1

2

s，則

s1

s

≠

s2

s1

，從而可知三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線；
（3）由于直線CD是△ABC的黃金分割線，所以

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

．要想說明直線EF也是△ABC的黃金分割線，只需證明

S△AEF

S△ABC

=

S四邊形BEFC

S△AEF

，即證S_△ADC=S_△AEF，S_△BDC=S_{四邊形BEFC}即可．因?yàn)镈F∥CE，所以△DFC和△DFE的公共邊DF上的高也相等，所以有S_△DFC=S_△DFE，所以S_△ADC=S_△ADF+S_△DFC=S_△ADF+S_△DFE=S_△AEF，S_△BDC=S_{四邊形BEFC}．
（4）根據(jù)黃金分割線的定義即可作出．本題答案不唯一，作法有無數(shù)種．

解答：解：（1）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：
設(shè)△ABC的邊AB上的高為h．
則S△ADC=

1

2

AD•h，S△BDC=

1

2

BD•h，S△ABC=

1

2

AB•h，
∴

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

．
又∵點(diǎn)D為邊AB的黃金分割點(diǎn)，
∴

AD

AB

=

BD

AD

，
∴

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

．
故直線CD是△ABC的黃金分割線．

（2）∵三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，
∴s1=s2=

1

2

s，即

s1

s

≠

s2

s1

，
故三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線．

（3）∵DF∥CE，
∴△DFC和△DFE的公共邊DF上的高也相等，
∴S_△DFC=S_△DFE，
∴S_△ADC=S_△ADF+S_△DFC=S_△ADF+S_△DFE=S_△AEF，S_△BDC=S_{四邊形BEFC}．
又∵

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，
∴

S△AEF

S△ABC

=

S四邊形BEFC

S△AEF

．
因此，直線EF也是△ABC的黃金分割線．（7分）

（4）畫法不惟一，現(xiàn)提供兩種畫法；
畫法一：如答圖1，取EF的中點(diǎn)G，再過點(diǎn)G作一條直線分別交AB，DC于M，N點(diǎn)，則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線．
畫法二：如答圖2，在DF上取一點(diǎn)N，連接EN，再過點(diǎn)F作FM∥NE交AB于點(diǎn)M，連接MN，則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線．

（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生的閱讀能力、知識(shí)遷移能力、分析問題及解決問題的能力．綜合性較強(qiáng)，有一定難度．