Question

將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O為頂點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=10，OC=8．
（1）如右上圖，在OC邊上取一點(diǎn)D，將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C恰好落在OA邊上，記作點(diǎn)E．
①求點(diǎn)E的坐標(biāo)及折痕BD的長(zhǎng)；
②在x軸上取兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且MN=4.5，求使四邊形BDMN的周長(zhǎng)最短的點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）如右下圖，在OC，BC邊上分別取點(diǎn)F，G，將△GCF沿GF折疊，使點(diǎn)C恰好落在OA邊上，記作點(diǎn)H．設(shè)OH=x，四邊形OHGC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=OA=10，AB=OC=8，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC=BE=10，DC=DE，易得AE=6，則OE=10-6=4，即可得到E點(diǎn)坐標(biāo)；在Rt△ODE中，設(shè)DE=x，則OD=OC-DC=OC-DE=8-x，利用勾股定理可計(jì)算出x，再在Rt△BDE中，利用勾股定理計(jì)算出BD；
②以D、M、N為頂點(diǎn)作平行四邊形DMND′，作出點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)B′，則易得到B′的坐標(biāo)，D′的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線D′B′的解析式，令y=0，得-2x+12=0，確定N點(diǎn)坐標(biāo)，也即可得到M點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BC于M，則MG=HG-x，從而在RT△HMG中可用x表示出HG的長(zhǎng)，利用梯形的面積公式可用x表示出y，點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí)是OH取得最大值的點(diǎn)，從而可得出自變量的范圍．

解答：解：（1）①∵四邊形OABC為矩形，
∴BC=OA=10，AB=OC=8，
∵△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C恰好落在OA邊E點(diǎn)上，
∴BC=BE=10，DC=DE，
在Rt△ABE中，BE=10，AB=8，
∴AE=6，
∴OE=10-6=4，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）；
在Rt△ODE中，設(shè)DE=x，則OD=OC-DC=OC-DE=8-x，
∴x²=4²+（8-x）²，解得x=5，
在Rt△BDE中，
BD=

52+102

=5

5

；

②以D、M、N為頂點(diǎn)作平行四邊形DMND′，作出點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)B′，如圖：
∴B′的坐標(biāo)為（10，-8），DD′=MN=4.5，
∴D′的坐標(biāo)為（4.5，3），
設(shè)直線D′B′的解析式為y=kx+b，
把B′（10，-8），D′（4.5，3）代入得
10k+b=-8，4.5k+b=3，
解得k=-2，b=12，
∴直線D′B′的解析式為y=-2x+12，
令y=0，得-2x+12=0，解得x=6，
∴M（1.5，0）；N（6，0）．

（2）過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BC于M，則MG=HG-x，
∵△GCF沿GF折疊得到△GHF，
∴HG=CG，故MG可表示為CG-x，
在Rt△HMG中，HG²=MG²+MH²，即HG²=（CG-x）²+64，
解得：CG=

64+x2

2x

，
∴S_OHGC=

1

2

（CG+OH）•OC=

6x2+128

x

，即y=

6x2+128

x

，
點(diǎn)F與點(diǎn)O重合點(diǎn)G與點(diǎn)B重合、點(diǎn)F與點(diǎn)O重合分別是點(diǎn)F的兩個(gè)極限，
1、點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)，由①的結(jié)論可得，此時(shí)OH=4，
2、點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí)，OH=8，
綜上可得：y=

6x2+128

x

，（4＜x＜8）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及最短路徑的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，在（2）求自變量范圍的時(shí)候，要注意尋找極限點(diǎn)，不要想當(dāng)然的判斷．