如圖，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點(diǎn)．

(1)如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中線，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，試說明E是△ABC的自相似點(diǎn)．

(2)在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如圖，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點(diǎn)P(寫出作法并保留作圖痕跡)；

②若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點(diǎn)，求該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．

答案：
解析：

　　解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中線，∴，∴CD＝BD．

　　∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC．

　　∴E是△ABC的自相似點(diǎn)．

　　(2)①作圖略．

　　作法如下：(i)在∠ABC內(nèi)，作∠CBD＝∠A；

　　(ii)在∠ACB內(nèi)，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于點(diǎn)P．

　　則P為△ABC的自相似點(diǎn)．

　　②連接PB、PC．∵P為△ABC的內(nèi)心，∴，．

　　∵P為△ABC的自相似點(diǎn)，∴△BCP∽△ABC．

　　∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，

　　∠ACB＝2∠BCP＝4∠A．∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°．

　　∴∠A＋2∠A＋4∠A＝180°．

　　∴．∴該三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為、、．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

23、已知：如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AC=BC，CD平分∠ACB．
求證：∠ABD=∠BAD．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，E為△ABC外一點(diǎn)，且∠1=∠2，∠3=∠4．
證明：△ABC∽△DBE．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知，如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)連接BD、AD，以BC為邊在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，BE、
CE交于E，連接DE．
（1）求證：
BC
AB
=
BE
BD
；
（2）求證：△DBE∽△ABC．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，D為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，E為△ABC外的一點(diǎn)，且∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）求證：△ABD∽△CBE．
（2）求證：△ABC∽△DBE．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，以O(shè)為位似中心，作△A′B′C′∽△ABC，且相似比為2．

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