Question

15．已知直角坐標系中，△ABC的頂點A（1，1），B（1，a），C（2，b），B，C兩點在直線y=-3x+7上，將△ABC向左平移3個單位，再向上平移1個單位得△A₁B₁C₁；再作△A₂B₂C₂，以原點為中心關于△A₁B₁C₁中心對稱．
（1）畫出平移圖象，并寫出A₁，B₁，C₁，點坐標．
（2）畫出中心對稱圖象，并寫出A₂，B₂，C₂，點坐標．
（3）若P是x軸上的動點，當P在何處時，PC+PC₁最小．
（4）若Q是y軸上的動點，若△BCQ是等腰三角形，在圖中作出所有Q點的位置，并寫出其中兩個Q點的坐標．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出B、C的坐標，再利用平移的性質(zhì)寫出A₁，B₁，C₁點坐標，然后描點即可得到△A₁B₁C₁；
（2）利用關于中心對稱的點的坐標特征寫出A₂，B₂，C₂點坐標，然后描點即可得到△A₂B₂C₂；
（3）利用兩點之間線段最短，作C點關于x軸的對稱點C′，然后連結C¹C′交x軸為P點，則PC+PC₁最小，再寫出P點坐標；
（4）分類：分別以B、C為圓心，BC為半徑畫圓交y軸于Q₃、Q₁、Q₄點，作BC的垂直平分線交y軸于Q₂，然后寫出其中兩個點的坐標．

解答 解：（1）把B（1，a），C（2，b）分別代入y=-3x+7中得a=-3+7=4，b=-6+7=1，則B（1，4），C（2，1）；
如圖，△A₁B₁C₁為所作，A₁的坐標為（-2，2），B₁的坐標為（-2，5），C₁的坐標為（-1，2）；
（2）如圖，△A₂B₂C₂為所作，A₂的坐標為（2，-2），B₂的坐標為（2，-5），C₂的坐標為（1，-2）；
（3）如圖，點P為所作，P點坐標為（1，0）；
（4）如圖，點Q₁、Q₂、Q₃、Q₄為所作，其中Q₂的坐標為（0，2），Q₃的坐標為（0，1）．

點評 本題考查了作圖-旋轉變換：根據(jù)旋轉的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．也考查了等腰三角形的判定和最短路徑問題．