Question

如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，若

AE

AD

=

1

3

，則

AC

AE

=

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：連結BD，根據等邊三角形的性質就可以得出△AEC≌△BDC，就可以得出AE=BD，∠E=∠BDC，由等腰直角三角形的性質就可以得出∠ADB=90°，由勾股定理就可以得出：AE²+AD²=2AC²．由此易求

AC

AE

的值．

解答：解：如圖，連結BD．
∵△ACB與△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，
∴2AC²=AB²．∠ECD-ACD=∠ACB-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△AEC和△BDC中，

AC=BC   ∠ACE=∠BCD EC=DC

，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴AE=BD，∠E=∠BDC．
∴∠BDC=45°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，
即∠ADB=90°．
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD²+AE²=2AC²．
又∵

AE

AD

=

1

3

，
∴AD=3AE，
∴10AE²=2AC²．
∴

AC

AE

=

5

1

故答案是：

5

：1．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，直角三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．