(2004•海淀區(qū))已知:在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),以O(shè)A為直徑作圓B.若點(diǎn)D是x軸上的一動(dòng)點(diǎn),連接AD交圓B于點(diǎn)C.
(1)當(dāng)tan∠DAO=時(shí),求直線BC的解析式;
(2)過點(diǎn)D作DP∥y軸與過B、C兩點(diǎn)的直線交于點(diǎn)P,請任意求出三個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo),并確定圖象經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式;
(3)若點(diǎn)P滿足(2)中的條件,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-3,3),求線段PM與PB的和的最小值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】分析:(1)直徑是OA,圓心為B,故B(0,1),根據(jù)tan∠1=tan∠2=,分別解直角△OKC,△AKC可得C點(diǎn)坐標(biāo)為(,),又A(0,2),可求出直線BC解析式;
(2)本題答案不唯一,可選定點(diǎn)D的坐標(biāo),推出點(diǎn)P的坐標(biāo),最好選擇關(guān)于y軸的對稱點(diǎn),使拋物線解析式簡單一些;
(3)由于BC=BA,PD∥y軸,則PC=PD,將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,PM+PB=PM+PC+CB=PM+PD+CB,故只有當(dāng)直線DP經(jīng)過點(diǎn)M(-3,3)時(shí),PM+PD的值最小,由切割線定理求CD,由平行的相似三角形,利用相似比求PD,確定P點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:(1)如圖所示,當(dāng)點(diǎn)D在x軸的正半軸上時(shí),連接OC,過C點(diǎn)作CK⊥y軸于點(diǎn)K.
∵OA為圓B的直徑,點(diǎn)C在圓B上
∴∠ACO=90°
∴∠1=∠2
∵tan∠1=
∴tan∠2=
設(shè)OK的長為x,則KC=2x,可得AK=4x
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),OK+KA=OA
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1),5x=2
∴x=
∴KC=
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+1(k≠1),
得:=k+1
∴k=-
∴直線BC的解析式為y=-x+1
當(dāng)點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上時(shí),同理可得直線BC的解析式為y=x+1
∴滿足題意的直線BC的解析式為y=-x+1或y=x+1.

(2)∵DP∥y軸
∴DP⊥x軸
當(dāng)點(diǎn)D位于如圖的位置時(shí),有D(1,0)
可得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y=-×1+1=
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,
如圖所示,當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0)時(shí),△AOD為等腰三角形
連接OC
∵OA為圓B的直徑
∴OC⊥AD
∴C為AD中點(diǎn)
∴BC∥OD
又∵DP1∥y軸
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2,1)
如圖所示,類似地,可得點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(-2,1)
設(shè)圖象經(jīng)過P、P1、P2、三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0),得:
=a+b+c;②1=4a+2b+c;③1=4a-2b+c
解得a=,b=0,c=0
∴圖象經(jīng)過這三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為y=x2

(3)如圖所示
∵AB∥PD,
∴PD⊥x軸,
∵AB=BC
∴DP=PC
∴PM+PB=PM+PC+BC
=PM+PD+BC
由幾何知識(shí)可知,當(dāng)直線DP經(jīng)過點(diǎn)M(-3,3)時(shí),PM+PD的值最小
又∵BC是圓B的半徑
∴當(dāng)直線BP過點(diǎn)M時(shí),PM+PB的值最小
∴PM+PB的最小值是MD+BC=3+1=4
∵OD=3,OA=2
由勾股定理有AD=
又可證DO是圓B的切線
∴OD2=DC•AD
∴CD=,
則AC=AD-CD=
由△PDC∽△BAC,得:=
即DP=
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,).
點(diǎn)評:本題綜合性強(qiáng),考查了直線與圓,拋物線與圓的相關(guān)知識(shí),用形數(shù)結(jié)合的觀點(diǎn),只有當(dāng)D,P,M三點(diǎn)共線時(shí)PM+PD的值最小,結(jié)合切割線定理,相似比求出P點(diǎn)坐標(biāo).
練習(xí)冊系列答案
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(1)求出點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)當(dāng)m=-5時(shí),求圖象經(jīng)過E、Q兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式;
(3)當(dāng)點(diǎn)E(m,n)在⊙P上運(yùn)動(dòng)時(shí),猜想∠OQE的大小會(huì)發(fā)生怎樣的變化?請對你的猜想加以證明.

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(1)當(dāng)tan∠DAO=時(shí),求直線BC的解析式;
(2)過點(diǎn)D作DP∥y軸與過B、C兩點(diǎn)的直線交于點(diǎn)P,請任意求出三個(gè)符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo),并確定圖象經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式;
(3)若點(diǎn)P滿足(2)中的條件,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-3,3),求線段PM與PB的和的最小值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

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(1)求出點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)當(dāng)m=-5時(shí),求圖象經(jīng)過E、Q兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式;
(3)當(dāng)點(diǎn)E(m,n)在⊙P上運(yùn)動(dòng)時(shí),猜想∠OQE的大小會(huì)發(fā)生怎樣的變化?請對你的猜想加以證明.

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