Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB．
（1）求證：△BFC≌△DFC；
（2）若∠BCD=60°，BC=8，求BE的長．

Answer 1

證明：（1）∵CF平分∠BCD，
∴∠1=∠2．
∵BC=DC，F(xiàn)C=FC，
∴△BFC≌△DFC．

（2）解：延長DF交BC于G，
∵AD∥BC，DF∥AB，∠A=90°，
∴四邊形ABGD是矩形．
∴∠BGD=90°．
∵△BFC≌△DFC，
∴∠3=∠4．
∵∠BFG=∠DFE，
∴∠BGD=∠DEF=90°．
∵∠BCD=60°，BC=8，
∴BE=BC，sin60°=4．
分析：（1）△BFC和△DFC可看作關(guān)于直線CF的軸對稱，圍繞軸對稱找全等的條件；
（2）由AD∥BC，DF∥AB，得∠ADC=120°，∠ADF=90°，即∠FDC=30°，由△BFC≌△DFC得∠CBE=∠FDC=30°，可證△BCE是含30°的直角三角形，解直角三角形可求BE．
點評：本題把角平分線置于直角梯形的背景之中，與平行線組合使用，溝通了角與角之間的關(guān)系．由于角平分線、平行線都具有轉(zhuǎn)化角的作用，在兩者共存的圖形中常會出現(xiàn)全等三角形，所以命題者常將兩者組合，設計出精彩紛呈的題目．