Question

2．如圖，四邊形ABCD，M、N分別為AB、CD的中點，P、Q是連線的交點．求證：S_{四邊形MQNP}=S_△APD+S_△BQC．

Answer 1

分析 連接AC，BD，根據(jù)四邊形ABCD，M、N分別為AB、CD的中點，得到S_△ADM=$\frac{1}{2}$S_△ABD，S_△BCM=$\frac{1}{2}$S_△ABC，結(jié)合圖形，利用等式的性質(zhì)化簡即可得證．

解答 證明：連接AC，BD，
∵四邊形ABCD，M、N分別為AB、CD的中點，
∴S_△ADM=$\frac{1}{2}$S_△ABD，S_△BCM=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
S_△DMC=S_{四邊形ABCD}-S_△ADM-S_△BCM
=（$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}-S_△ADM）+（$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}-S_△BCM）
=$\frac{1}{2}$S_△ABD+$\frac{1}{2}$S_△BCD-S_△ADM+$\frac{1}{2}$S_△ADC+$\frac{1}{2}$S_△ACB-S_△BCM
=S_△ADM+$\frac{1}{2}$S_△BCD-S_△ADM+$\frac{1}{2}$S_△ADC+S_△BCM-S_△BCM
=$\frac{1}{2}$S_△BCD+$\frac{1}{2}$S_△ADC
=S_△BCN+S_△ADN，
兩邊減去S_△DPN+S_△QCN得：S_△DMC-（S_△DPN+S_△QCN）=S_△BCN+S_△ADN-（S_△DPN+S_△QCN），
即S_{四邊形MQNP}=S_△APD+S_△BQC．

點評 此題考查了面積及等積變換，弄清三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解本題的關(guān)鍵．