【題目】閱讀與思考 婆羅摩笈多(Brahmagupta),是一位印度數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家,書寫了兩部關(guān)于數(shù)學(xué)和天文學(xué)的書籍,他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位,他的負(fù)數(shù)概念及加減法運(yùn)算僅晚于中國《九章算術(shù)》,而他的負(fù)數(shù)乘除法法則在全世界都是領(lǐng)先的,他還提出了著名的婆羅摩笈多定理,該定理的內(nèi)容及部分證明過程如下:
已知:如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)P,PM⊥AB于點(diǎn)M,延長MP交CD于點(diǎn)N,求證:CN=DN.
證明:在△ABP和△BMP中,∵AC⊥BD,PM⊥AB,
∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°.
∴∠BAP=∠BPM.
∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC.
∴…

(1)請(qǐng)你閱讀婆羅摩笈多定理的證明過程,完成剩余的證明部分.
(2)已知:如圖2,△ABC內(nèi)接于⊙O,∠B=30°,∠ACB=45°,AB=2,點(diǎn)D在⊙O上,∠BCD=60°,連接AD,與BC交于點(diǎn)P,作PM⊥AB于點(diǎn)M,延長MP交CD于點(diǎn)N,則PN的長為

【答案】
(1)解:在△ABP和△BMP中,∵AC⊥BD,PM⊥AB,

∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°.

∴∠BAP=∠BPM.

∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC.

∴∠DPN=∠PDN,

∴DN=PN,

同理:CN=PN,

∴CN=DN


(2)1
【解析】解: (2)∵∠ACB=45°,∠BCD=60°, ∴∠ACD=45°+60°=105°,
又∵∠D=∠B=30°,
∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°,
∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°,△APC是等腰直角三角形,
∴PA=PC,∠CPD=90°,
在△CPD和△APB中, ,
∴△CPD≌△APB(AAS),
∴CD=AB=2,
∵∠CPD=90°,PM⊥AB于點(diǎn)M,延長MP交CD于點(diǎn)N,
∴同(1)得:CN=DN,
∴PN= CD=1;
所以答案是:1.
【考點(diǎn)精析】掌握含30度角的直角三角形和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;把圓分成n(n≥3):1、依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形2、經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線,以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】水利部確定每年的3月22日至28日為“中國水周”(1994年以前為7月1日至7日),從1991年起,我國還將每年5月的第二周作為城市節(jié)約用水宣傳周.某社區(qū)為了進(jìn)一步提高居民珍惜水、保護(hù)水和水憂患意識(shí),提倡節(jié)約用水,從本社區(qū)5000戶家庭中隨機(jī)抽取100戶,調(diào)查他們家庭每月的平均用水量,并將調(diào)查的結(jié)果繪制成如下的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:

用戶月用水量頻數(shù)分布表

平均用水量(噸)

頻數(shù)

頻率

3~6噸

10

0.1

6~9噸

m

0.2

9~12噸

36

0.36

12~15噸

25

n

15~18噸

9

0.09

請(qǐng)根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)圖表,解答下列問題:

(1)在頻數(shù)分布表中:m=__ __,n=__ __;

(2)根據(jù)題中數(shù)據(jù)補(bǔ)全頻數(shù)直方圖;

(3)如果自來水公司將基本月用水量定為每戶每月12噸,不超過基本月用水量的部分享受基本價(jià)格,超出基本月用水量的部分實(shí)行加價(jià)收費(fèi),那么該社區(qū)用戶中約有多少戶家庭能夠全部享受基本價(jià)格?

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【題目】小明騎車從家出發(fā),先向東騎行1km到達(dá)A村,繼續(xù)向東騎行4km到達(dá)B村,然后向西騎行8km到達(dá)C村,最后回到家.

1) 以快遞公司為原點(diǎn),以向東方向?yàn)檎较颍?/span>1 cm表示1 km,畫出數(shù)軸,并在數(shù)軸上表示出A、B、C三個(gè)店的位置;

2C店離A店有多遠(yuǎn)?

3) 快遞員一共騎行了多少千米?

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【題目】計(jì)算下列各題
(1)計(jì)算: +( 2﹣4cos45°;
(2)化簡:(x+2)2﹣x(x﹣3)

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【題目】如圖,AD 是一段斜坡,AB 是水平線,現(xiàn)為了測(cè)斜坡上一點(diǎn) D 的鉛直高度(即 垂線段 DB 的長度),小亮在點(diǎn) D 處立上一竹竿 CD,并保證 CDAB,CDAD,然后在竿頂 C 處垂下一根細(xì)繩(細(xì)繩末端掛一重錘,以使細(xì)繩與水平線垂直),細(xì)繩與斜坡 AD 交于點(diǎn)E,此時(shí)他測(cè)得 CE=8 m,AE=6 m,求 BD 的長度.

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【題目】山西綿山是中國歷史文化名山,因春秋時(shí)期晉國介子推攜母隱居于此被焚而著稱,如圖1,是綿山上介子推母子的塑像,某游客計(jì)劃測(cè)量這座塑像的高度,由于游客無法直接到達(dá)塑像底部,因此該游客計(jì)劃借助坡面高度來測(cè)量塑像的高度;如圖2,在塑像旁山坡坡腳A處測(cè)得塑像頭頂C的仰角為75°,當(dāng)從A處沿坡面行走10米到達(dá)P處時(shí),測(cè)得塑像頭頂C的仰角剛好為45°,已知山坡的坡度i=1:3,且O,A,B在同一直線上,求塑像的高度.(側(cè)傾器高度忽略不計(jì),結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):cos75°≈0.3,tan75°≈3.7, ≈1.4, ≈1.7, ≈3.2)

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【題目】如圖1,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B兩點(diǎn),(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與直線AC交于點(diǎn)C(2,3),直線AC與拋物線的對(duì)稱軸l相交于點(diǎn)D,連接BD.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式,并求出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如圖2,若點(diǎn)M、N同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā),均以每秒1個(gè)單位長度的速度分別沿DA、DB運(yùn)動(dòng),連接MN,將△DMN沿MN翻折,得到△D′MN,判斷四邊形DMD′N的形狀,并說明理由,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為何值時(shí),點(diǎn)D′恰好落在x軸上?
(3)在平面內(nèi),是否存在點(diǎn)P(異于A點(diǎn)),使得以P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似(全等除外)?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】解答題。
(1)計(jì)算:|﹣2|﹣ +(﹣2)2﹣( 0;
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【題目】在義烏市中小學(xué)生“我的中國夢(mèng)”讀書活動(dòng)中,某校對(duì)部分學(xué)生做了一次主題為:“我最喜愛的圖書”的調(diào)查活動(dòng),將圖書分為甲、乙、丙、丁四類,學(xué)生可根據(jù)自己的愛好任選其中一類.學(xué)校根據(jù)調(diào)查情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并繪制了不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
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(3)在最喜愛丙類圖書的學(xué)生中,女生人數(shù)是男生人數(shù)的1.5倍,若這所學(xué)校共有學(xué)生1500人,請(qǐng)你估計(jì)該校最喜愛丙類圖書的女生和男生分別有多少人?

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