Question

如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC＝120°．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)判斷PQ與對(duì)角線AC的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若點(diǎn)Q關(guān)于菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為M，過點(diǎn)P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點(diǎn)N．

①當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P、M、N在一直線上？

②當(dāng)點(diǎn)P、M、N不在一直線上時(shí)，是否存在這樣的t，使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1） 若0＜t≤5，則AP＝4t，AQ＝2t. 則 ＝＝，

又 ∵ AO＝10，AB＝20，∴  ＝＝.∴ ＝，

又 ∠CAB＝30°，∴ △APQ∽△ABO，∴ ∠AQP＝90°，即PQ⊥AC. ………………4分  

當(dāng)5﹤t≤10時(shí)，同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC（考慮一種情況即可） 

∴ 在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，始終有PQ⊥AC.

（2）①  如圖，在RtAPM中，易知AM＝，又AQ＝2t，

QM＝20－4t.

由AQ＋QM＝AM  得2t＋20－4t＝

解得t＝，∴ 當(dāng)t＝時(shí)，點(diǎn)P、M、N在一直線上. …………………………8分 

② 存在這樣的t，使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形.

設(shè)l交AC于H.

如圖1，當(dāng)點(diǎn)N在AD上時(shí)，若PN⊥MN，則∠NMH＝30°.

∴ MH＝2NH，得 20－4t－＝2×  解得t＝2，  …………………10分

如圖2，當(dāng)點(diǎn)N在CD上時(shí)，若PM⊥MN，則∠HMP＝30°.∴ MH＝2PH，同理可得t＝ .

故 當(dāng)t＝2或 時(shí)，存在以PN為一直角邊的直角三角形. …………………12分

 

【解析】略