Question

如圖1，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形，并將添加的全等條件標(biāo)注在圖上．
請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（1）如圖2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F，求∠EFA的度數(shù)；
（2）在（1）的條件下，請判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（ 1 ）中的其他條件不變，試問在（2）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)SAS可知：在∠MON的兩邊上以O(shè)為端點截取相等的兩條相等，另外兩個端點與角平分線上任意一點相連，所構(gòu)成的兩個三角形確定，它們關(guān)于OP對稱．
（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠BAC．∠EFA是△ACF的外角，根據(jù)外角的性質(zhì)計算求解；
（2）根據(jù)圖1的作法，在AC上截取AG=AF，則EF=FG；根據(jù)ASA證明△FCD≌△FCG，得DF=FG，故判斷EF=FD；
（3）只要∠B的度數(shù)不變，結(jié)論仍然成立．證明同（2）．

解答：解：如圖．（1分）
（1）如圖1，∵∠ACB=90°，∠B=60°．
∴∠BAC=30°．（2分）
∵AD、CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=15°，∠ECA=

1

2

∠ACB=45°．
∴∠EFA=∠DAC+∠ECA=15°+45°=60°．（4分）

（2）FE=FD．（5分）
如圖2，在AC上截取AG=AE，連接FG．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中
∵

AE=AG ∠EAF=∠FAG AF=AF

∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，∠EFA=∠GFA=60°．（6分）
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°．
又∵∠DFC=∠EFA=60°，
∴∠DFC=∠GFC．（7分）
在△FDC和△FGC中
∵

∠DFC=∠GFC FC=FC ∠FCG=∠FCD

∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG．
∴FE=FD．（8分）

（3）（2）中的結(jié)論FE=FD仍然成立．（9分）
同（2）可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA．（10分）
又由（1）知∠FAC=

1

2

∠BAC，∠FCA=

1

2

∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA=

1

2

（∠BAC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠B）=60°．
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°．
∴∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°．（11分）
同（2）可得△FDC≌△FHC，
∴FD=FH．
∴FE=FD．（12分）

點評：此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，難度較大．