Question

如圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），直線AC和直線OB相交于點(diǎn)M，點(diǎn)P是OA的中點(diǎn)，PD⊥AC，垂足為D．
（1）求直線AC的解析式；
（2）求經(jīng)過點(diǎn)O、M、A的拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在Q，使得S_△PAD：S_△QOA=8：25？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出直線AC的解析式；
（2）求出O、M、A三點(diǎn)坐標(biāo)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式便可求出經(jīng)過點(diǎn)O、M、A的拋物線的解析式；
（3）根據(jù)題意先求出Q點(diǎn)的y坐標(biāo)，在根據(jù)Q在拋物線上的關(guān)系求出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，便可得出答案．
解答：解：（1）由題意四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6）可知：
A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（8，0），C（0，6），
設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)=kx+b，
將A（8，0），C（0，6）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+b，
解得，
故直線AC的解析式為；

（2）由題意可知O（0，0），M（4，3），A（8，0），
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)O、M、A的拋物線的解析式為y=ax²+bx，
將M（4，3），A（8，0），兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax²+bx，
得，
解得，
故經(jīng)過點(diǎn)O、M、A的拋物線的解析式為；

（3）∵△AOC∽△ADP，
∴，
即，
解得PD=2.4，AD=3.2，S_△PAD=×PD×AD=，
∵S_△PAD：S_△QOA=8：25，
∴S_△QOA=12，
S_△QOA=×OA×|y_Q|=×8×|y_Q|=12，
解得|y_Q|=3，
又∵點(diǎn)Q在拋物線上，
所以=3或=-3，
解方程得x₁=4，x₂=4+4，x₃=4-4，
故Q點(diǎn)的坐標(biāo)為、、Q（4，3）．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線解析式的求法和三角形相似等，屬于較難題．解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練．