Question

已知，如圖AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，AC交⊙O于點E，∠BAC=45°．給出以下五個結論：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤DE=DC．其中正確結論有

1. A.
   2個
2. B.
   3個
3. C.
   4個
4. D.
   5個

Answer 1

C
分析：①AB是直徑，易知∠AEB=90°，而∠ABE=45°，AB=AC，從而易求∠ABC和∠ACB，進而可求∠EBC；
②連接AD，由于AB=AC，∠ADB=90°，利用等腰三角形三線合一定理可知BD=CD；
③在Rt△BCE中，易求∠EBC和∠C，利用BE=tan67.5°•CE，可知BE≠2CE，利用∠BAC=45°，∠AEB=90°，易證△ABE是等腰直角三角形，從而可知AE≠2CE；
④由于∠ABE=45°，BAD=22.5°，易得劣弧AE=2劣弧BD，而劣弧BD=劣弧DE，從而易證劣弧AE=2劣弧DE；
⑤由圓內接四邊形的外角等于它的內對角，得到一對角相等，再由AB=AC，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到∠DEC=∠ACB，利用等角對等邊即可得到DE=DC．
解答：解：①∵∠A=45°，AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=45°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠EBC=67.5°-45°=22.5°，
此選項正確；
②連接AD，
∵AB=AC，AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD=CD，
此選項正確；
③∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
由①知∠EBC=22.5°，∠C=67.5°，
∴BE=tan67.5°•CE，
∴BE≠2CE，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠BAE=45°，
∴∠ABE=45°，
∴AE=BE，
∴AE≠2CE，
此選項錯誤；
④∵∠ABE=45°，BAD=22.5°，
∴劣弧AE=2劣弧BD，
∵劣弧BD=劣弧DE，
∴劣弧AE=2劣弧DE，
此選項正確．
⑤∵∠DEC為圓內接四邊形ABDE的外角，
∴∠DEC=∠ABC，
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠DEC=∠ACB，
∴DE=DC，
本選項正確，
故選C
點評：本題考查了圓周角定理、等腰直角三角形的判定和性質、等腰三角形三線合一定理，解題的關鍵是求出相應角的度數．